Условно неравенство с четири променливи

[inveidar]

Давам я за пример като лесна и приятна задачка. И смятам, че не всички участници биха я решили, т.е може да служи за известно пресяване на участниците, нали? А Върховръх го знам! Бил съм там на една вила. Страхотно готино място в Родопите!

[drago]

Да, приятна е задачата, както и Върховръх.

Тази тема я откарахме на здраво off-topic или лирическо отклонение на български. А батко ИНС искаше някакво неравенство да се решава и че било много красиво. Е аз красиво решение не мога да открия, но може да се добута по следния начин:

Едно от числата е поне 1. Да предположим, че [tex]a \geq 1[/tex]. Имаме:

(1) [tex]\frac{a^3}{3}-\frac{1}{a} + \frac{8}{27} \leq \frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d} + \frac{b^3+c^3+d^3}{3}[/tex].

Да означим [tex]s=b+c+d = 4-a \leq 3[/tex].

Първо доказваме, че при условието [tex]b+c+d=s (s\leq 3)[/tex] най-малка стойност на дясната страна на (1) се достига когато [tex]b=c=d=s/3[/tex]. Toва може да стане със съображения за изпъкналост на функцията [tex]f(x)= \frac{3}{x}-x^3[/tex]. За съжаление тази ф-я е изпъкнала само в [tex](0,1)[/tex] и вдлъбната в [tex](1,3)[/tex], обаче пак става. Просто във втория интервал намалява по бавно отколкото в първия и могат да се натъкмят нещата. Ако [tex]\frac{x_1+x_2+x_3}{3} \leq 1,\,x_1\leq x_2 \leq x_3[/tex] , то точките:

[tex](x_1, f(x_1)), (1,2), (x_3, f(x3))[/tex] при [tex]x_2>1[/tex]
или
[tex](x_1, f(x_1)), (x_2, f(x_2)), (x_3, f(x3))[/tex] при [tex]x_2 \leq 1[/tex]

образуват изпъкнала начупена линия, която при [tex]x\leq 1[/tex] e над [tex]f(x)[/tex], а при [tex]x>1[/tex] под [tex]f(x)[/tex]. Така, че с тази линия разписваме неравенството на Йенсен и това се добутва.

Второ: доказваме, че:

[tex]\frac{a^3}{3}-\frac{1}{a} + \frac{8}{27} \leq \frac{9}{4-a} - \frac{(4-a)^3}{27}[/tex].

или:

(2) [tex]\frac{9}{4-a} + \frac{1}{a} - \frac{a^3}{3} - \frac{(4-a)^3}{27} - \frac{8}{27} \geq 0[/tex].

при [tex]a \in [1, 4)[/tex].

Това второто не съм го мислил, но в края на краищата с малко производни трябва да се докаже , че е така като равенството е при [tex]a=3[/tex].

Така, че равенството в първоначалното се достига при [tex]a=3, b=c=d=\frac{1}{3}[/tex] и пермутациите.

[ins-]

"батко ИНС" - кърти , чудя се кое е най-подходящото обръщение от "Бате Боби", "Господин Бате Боби" и "Господин фон Бате Боби" .
За статистиката - може да се реши по още начини задачата Лагранж-нещо си, също би могло да се ползва.

[inveidar]

Не че на учителите не им се занимава, просто нямат нужното ниво, че да са полезни на някого (ако става дума за олимпиади, турнири, боеве (не гладиаторски, че и такъв случай имаше миналата учебна година) и т.н.). За да могат да водят (адекватни) школи, първо трябва да станат по-добри от учениците си. А това към 10-ти клас и нататък (т.е. когато младите олимпийски надежди започнат 10-ти клас) граничи с невъзможността.

Я виж тук viewtopic.php?f=10&t=11143 и после говори глупости!!!