Максимално лице на вписан многоъгълник

[ptj]

Ако не е правилен ще имаш две съседни страни с различна дължина. Да кажем [tex]AB[/tex] и [tex]BC[/tex]. Тогава ако вместо [tex]B[/tex] разгледаш точката [tex]B'[/tex], която е среда на дъгата [tex]ABC[/tex], ще получиш по-голямо лице.

Преди много години бях прочел една малка статия в сп. Квант на Курляндчик посветена на този клас задачи. Като пример се разглеждаше именно тази задача и се използваше точно това разсъждение. Статията е много кратка и е написана на много достъпен език. На който му е интересно, нека я прегледа. Предложени са и интересни задачи за упражнение.

http://kvant.mccme.ru/1981/01/priblizhe ... remumu.htm

Прочетох статията, доказателството е с перфектна идея! .

[Румен Симеонов]

Хм, интерсното е , дали с подобни разсъждения може да се докаже неравенството на Йенсен.

По-рано четох една препратка към публикация в квант за неравенства, но предложеното там (конкретно за Йенсен) е по различно. Като цяло то се основава на принадлежността на точката, съответсваща на центъра на масите към "надграфиката" за изпъкнали функции.
Отначало не го разбрах, защото е написано малко "завоалирано".

Всъщност, авторите използват (по подразбиране) следния факт:
Нека е дадена последователност от положителни числа [tex]x_1<x_2<..<x_n[/tex],
тогава за произволни неотрицателни числа [tex]m_1,m_2,.., m_n[/tex] (,чиято сума е положителна),

формулата [tex]\frac{m_1.x_1+m_2.x_2+...+m_n.x}{m_1+m_2+...+m_n}[/tex] дава всички числа в интервала [tex][x_1; x_n][/tex].

http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/04/kv0400ijboldin.pdf

Да, може, но се получава излишно тромаво доказателсство на неравенството на Йенсен. Упражненията 1 и 2 от цитираната от Вас статия в сп. ,,Квант" дават много лесно, разбираемо и кратко доказателство на неравенството на Йенсен.

[Румен Симеонов]

Въртиш, сучеш, и пак това, което трябва да се докаже, ти директно казваш, че е вярно и следователно задачата е решена

Съоветните редици от лица ще са строго растящи и ограничени (от лицето на вписания n-ъгълник), т.е. ще имат граница.

.......

.... лицето на текущия триъгълник в редицата все повече ще се приближава към лицето на равностранен триъгълник.

Съгласен съм, че това са нещата, които трябва да се докажат. Но не виждам как наличието на граница следва от предходните ти изречения. А още по-малко пък защо тази граница да е лицето на правилния n-ъгълник.

Методът, който аз предложих, се основава точно на прилагане на краен брой операции до достигане на някаква екстремална стойност, отвъд която системата не може да премине. Този метод може да се прилага върху сравнително широк спектър от симетрични неравенства, макар и далеч да не може да се окачестви като универсален. Точното решение е подобно, макар и операцията да е малко по-различна.

Ако многоъгълникът не е правилен, то със сигурност ще има две съседни страни, едната от които заключва дъга, по-голяма от 360°/n, а другата заключва дъга , която е по-малка от 360°/n . Тогава правим следното: Приплъзваме върха между тях по окръжността в посока от малката страна към по-голямата, докато едната от двете страни не заключи дъга равна на 360°/n . Така ще получим триъгълник с по-голямо лице, респективно ще се увеличи площта на целия n-ъгълник. Ако новия n-ъгълник не е правилен, повтаряме операцията.

Краен брой такива операции (най-много "n-1" на брой) неминуемо ще ни доведе до правилния n-ъгълник. И именно това вече показва, че лицето на всеки неправилен n-ъгълник е строго по-малко от лицето на правилния.

Забелязвам, че малко прибързано съм ви дал пълна похвална точка.

По отношение на Вашето:

,,Съгласен съм, че това са нещата, които трябва да се докажат. Но не виждам как наличието на граница следва от предходните ти изречения."
- човека е казал, че редицата е растяща и ограничена и аз считам, че от така казаното следва нейната сходимост (а още повече, че е посочил от какво е ограничена, макар да не го е доказал, но пък го е посочил само в скоби), като отделен е въпроса, че наистина казаното не е доказано (особено това в скобите).

,,Методът, който аз предложих," - не намирам ппеди мястото на заявяването да сте предрожил метод, освен че препращате към статия в сп. ,,Квант".
По-късно вече го казвате:
,,се основава точно на прилагане на краен брой операции до достигане на някаква екстремална стойност, отвъд която системата не може да премине."

,,Точното решение е подобно, макар и операцията да е малко по-различна." - коментирам:
операцията от статията от сп. ,,Квант" попада в рамките на такъв метод, а и вашето ,,решение" попада, и наистина е по-различно само по отношение на ,,операцията", но пък не е вярно решение (а аз го похвалих) именно защото сте орязал операцията от статията и ,,вашата" операция (тя също е от статията и не е ваша) не винаги може да се приложи и не винаги увеличава броят на страните с дъга равна на $360°/n$ (дори докато е по-малък от $n$).

Вие твърдите невярното:

,,Ако многоъгълникът не е правилен, то със сигурност ще има две съседни страни, едната от които заключва дъга, по-голяма от 360°/n, а другата заключва дъга , която е по-малка от 360°/n ." - вземете четириъгълник със дъги 90°, 60°, 90°, 120°, например.

Оказва се, че Вие (погрешно) си мислите, или поне внушавате на другите, че разместването на две съседни дъги и постигането с него на такова подреждане на дъгите, при което те да нарастват (не непременно строго) по големина (като се тръгне от една до изчерпването им) не е съществена част от решението предложено в статията. Съответно, не е налице ваше подобрение на решението от статията, а и въобще не излагате решение (защото и не излагате и това от статията). Критиките Ви към непълнотата на други решения, обаче, бяха основателна проява на прецизност както са основателни и настоящите мои забележпи по пълнотата на предложеното от Вас ,,решение", доколкото и тъй като може да се извлече от вашите текстове наличие на такова Ваше предложение на Ваш вариант на ,,решение"

[Румен Симеонов]

О.К. Ще прецезирам идеята:

1.) Даден е вписан в окръжност n-ъгълник.
2.) За него образуваме сортирана по големина n-орка от модули на разлики 2 между съседни страни.
3.)В текущия многоъгълник сменяме върха съответстващ на първата позиция в горната n-орка, т.е. правим тази разлика 0.
4.)Получили сме нов вписан n-ъгълник. Връщаме се на 2.)

Горния безкраен цикъл има следните характеристики:

5.) Лицето на n-ъгълника, съответстващ на нова n-орка от 2, е по-голямо от лицето на предишния.
Ако образуваме паралена редица от тези лица, то тя е строго растяща и ограничена от лицето на окръжността, следователно има крайна граница.

6.) Редицата от суми от елементите на n-орките е строго намаляваща и естествено ограничена от 0-лата, т.е. има неотрицателна граница.
За произволно малко фиксирано положително [tex]\epsilon[/tex], може да се изчисли след кое завъртане на цикъла, сумите от елементите на n-орките са по-малки от [tex]\epsilon[/tex].
Тогава горната редица е безкрайно малка и има граница 0.

7.) При клонето на редицата от 6.) към 0, дължините на страните на съответните n- ъгълници ще клонят към дължината на страната на вписания правилен n-ъгълник. Това дава за границата от 5.) точно лицето на вписания n-ъгълник.

П.П. Дано най-накрая съм успял да Ви преведа идеята си на разбираем език.

Не съм съгласен, че 6) може да се докаже, като се изчисли ,,след кое завъртане на цикъла, сумите от елементите на n-орките са по-малки от [tex]\epsilon[/tex]". Не можее да се изчисли защото не е известно колко е най-голямата разлика и, съответно, с колко ще се намали при едно изравняване на 2 съседни страни. Впрочем, тяхната разлика ще стане нула, но разликите на всяка от тях с другата й съседна страна може да се увеличат и даже, евентуално, увеличението да надхвърли постигнатото намаление. Също и 7) не е съвсем лесно за доказвате, а и заниси от предварително доказване на 6).

Обаче, аз предлагам друго нещо да намаляваме - максималната обсолютната стойност на разликата на дъгите и $360°/n$. По тези абсолютни стойности на тези разлики вземаме най-голямата и на нейната страна и една от съедните й страни правим изравняване. След доста усилия доказваме, че редицата наистина ще клони (нараствайки) към лицето на правилния $n$-ъгълник - защото ще има подредица на която и върховете на многоъгълника ще са сходящи редици и то към равностранен n-ъгълник.

[Румен Симеонов]

....

[Румен Симеонов]

Да се докаже, че измежду всички вписани n-ъгълници максимално лице има точно правилния.

П.П. Имам доказателство с доста нестандартна идея, затова иcкам да видя дали някой ще даде друго.

Нека $d_{k-1}$ и $d_k$ са дължините на 2 поредни в посока обратна на въртенето на часовниковата стрелка дъги заключени от две поредни страни $A_{k-1}A_k$ и $A_{k}A_{k+1}$ на един вписан в окръжност $C$ $n$-ъгълник $A_1...A_n$ (върховете са записани в поредността на срещането им при обход на $C$ в посока обратна на посоката на въртене на часовниковата стрелка), на който не всички страни са равни, като радиусът на $C$ е избран за единица дължина, при което цялото число $k$ е избрано така, че да е изпълннено ,,$d_{k-1}\le (360°/n)<d_k$ или $d_{k}\le (360°/n)<d_{k-1}$" - такъв избор е възможен понеже не всички страни са равни помежду си и понеже използваме обозначенията $А_{k+pn}:=A_k$, за произволно $k = 1, ... n$ и произволно цяло число $p$.
Преместваме (ако е необходимо) $A_k$ така, че то вече да е втория край на дъга с дължина $(360°/n)$ отложена от $A_{k-1}$ в посока обратна на часовниковата стрелка. Очевидно новият $n$-ъгълник с новото положение на $A_k$ има по-голямо или равно лице (по-голямо ако е било необходимо преместване на $A_k$) от лицето на стария при старото положение на $A_k$. Преобозначаваме с $k$ това, което в досегашното обозначение беше $k+1$. Отново проверяваме дали е изпълнено ,,$d_{k-1}\le (360°/n)<d_k$ или $d_{k}\le (360°/n)<d_{k-1}$" (с новото положение на $A_k$ и с новото $k$). Ако не е изпълнено, продължаваме да увеличаваме $k$ с 1-ца и след това да проверяваме свойството, но и си записваме колко дъги с дължина (360°/n) вече сме подминали до текущото $A_{k-1}$ броено от първоначалното $A_{k-1}$. Продължанами по същия начин (с премествания на $A_k$ или с увеличаване на $k$ с 1). Между 1 и $n-1$ пъти ще можем да намираме следващо $k$ притежаващо същото свойство. Всъщност спираме да търсим ново (и по-следващо) $k$ kогато вече сме записали, че до текущото $A_{k-1}$ вече сме подминали $n$ на брой дъги с дължина (360°/n). Когато спрем, $A_ 1...A_n$ вече ще обозначава поредните върхове (върху $C$). обратно на часовниковата стрелка, на $n$-ъгълник с равни страни (и следователно - правилен вписан). Поради увеличаване на лицето при всяка промяна положението на връх (поне веднъж), следва, че сме доказали, че всеки вписан $n$-ъгълник, който не е правилен има лице по-малко от лицето на (всеки) правилеин $n$-ъгълник, който е вписан в същата окръжност $C$. С това задачата е решена по един доста кратък начин (малко по-кратък от решението в статията от сп. ,,Квант", като алгоритъмът е доста по-икономичен).

[Genie_Almo]

Забелязвам, че малко прибързано съм ви дал пълна похвална точка.

По отношение на Вашето:

,,Съгласен съм, че това са нещата, които трябва да се докажат. Но не виждам как наличието на граница следва от предходните ти изречения."
- човека е казал, че редицата е растяща и ограничена и аз считам, че от така казаното следва нейната сходимост (а още повече, че е посочил от какво е ограничена, макар да не го е доказал, но пък го е посочил само в скоби), като отделен е въпроса, че наистина казаното не е доказано (особено това в скобите).

,,Методът, който аз предложих," - не намирам ппеди мястото на заявяването да сте предрожил метод, освен че препращате към статия в сп. ,,Квант".
По-късно вече го казвате:
,,се основава точно на прилагане на краен брой операции до достигане на някаква екстремална стойност, отвъд която системата не може да премине."

,,Точното решение е подобно, макар и операцията да е малко по-различна." - коментирам:
операцията от статията от сп. ,,Квант" попада в рамките на такъв метод, а и вашето ,,решение" попада, и наистина е по-различно само по отношение на ,,операцията", но пък не е вярно решение (а аз го похвалих) именно защото сте орязал операцията от статията и ,,вашата" операция (тя също е от статията и не е ваша) не винаги може да се приложи и не винаги увеличава броят на страните с дъга равна на $360°/n$ (дори докато е по-малък от $n$).

Вие твърдите невярното:

,,Ако многоъгълникът не е правилен, то със сигурност ще има две съседни страни, едната от които заключва дъга, по-голяма от 360°/n, а другата заключва дъга , която е по-малка от 360°/n ." - вземете четириъгълник със дъги 90°, 60°, 90°, 120°, например.

Оказва се, че Вие (погрешно) си мислите, или поне внушавате на другите, че разместването на две съседни дъги и постигането с него на такова подреждане на дъгите, при което те да нарастват (не непременно строго) по големина (като се тръгне от една до изчерпването им) не е съществена част от решението предложено в статията. Съответно, не е налице ваше подобрение на решението от статията, а и въобще не излагате решение (защото и не излагате и това от статията). Критиките Ви към непълнотата на други решения, обаче, бяха основателна проява на прецизност както са основателни и настоящите мои забележпи по пълнотата на предложеното от Вас ,,решение", доколкото и тъй като може да се извлече от вашите текстове наличие на такова Ваше предложение на Ваш вариант на ,,решение"

Уважаеми г-н Симеонов,

Напълно съм съгласен с изложените от Вас забележки и искрено съжалявам, че сте ми дал тази точка прибързано. Затова, смирено моля администратора на сайта да ми я отнеме.
След като присъдата е произнесена, бих искал да се възползвам от правото си на последни думи и да кажа за мое оправдание следното:

Съжалявам, ако в някакъв момент съм оставил впечатление у читателите, че претендирам за оригиналност и авторство в решението на задачата. Единствената ми цел беше да реферирам към тази статия, която така или иначе споделих. Извинявам се за неумелото представяне на идеята в тази статия. Аз наистина исках съвсем бегло да опиша за какво става въпрос, нямах за идея да бъда изчерпателен. Все пак, пълното решение вече си е описано в статията. Приемам, че не съм се справил добре с тази си цел, както и Вие много ловко ме разобличихте.
Все пак аз се радвам, че предизвиках дискусия, тъй като на мен лично са ми интересни този тип задачи.
Благодаря и на Вас за проявения интерес и за това, че обогатихте темата с Вашите разсъждения.

И накрая, може ли да си позволя да отправя едно малко предизвикателство към Вас? Какво мислите за последната задача, предложена за упражнение във въпросната статия? Преди години я бях предлагал в този форум, но ми е интересно да видя как Вие бихте подходил към нея!

Правя последна препратка - по мои далечни спомени, неравенството от МОМ '2001 (зад. 2) също можеше да се реши с този метод на приближенията. Може някой да опита. Предварително се извинявам, ако спомените ми си играят лоша шега с мен.

Ето и линк към пълния архив от задачи на МОМ.

https://www.imo-official.org/problems.aspx

[Румен Симеонов]

Забелязвам, че малко прибързано съм ви дал пълна похвална точка.

По отношение на Вашето:

,,Съгласен съм, че това са нещата, които трябва да се докажат. Но не виждам как наличието на граница следва от предходните ти изречения."
- човека е казал, че редицата е растяща и ограничена и аз считам, че от така казаното следва нейната сходимост (а още повече, че е посочил от какво е ограничена, макар да не го е доказал, но пък го е посочил само в скоби), като отделен е въпроса, че наистина казаното не е доказано (особено това в скобите).

,,Методът, който аз предложих," - не намирам ппеди мястото на заявяването да сте предрожил метод, освен че препращате към статия в сп. ,,Квант".
По-късно вече го казвате:
,,се основава точно на прилагане на краен брой операции до достигане на някаква екстремална стойност, отвъд която системата не може да премине."

,,Точното решение е подобно, макар и операцията да е малко по-различна." - коментирам:
операцията от статията от сп. ,,Квант" попада в рамките на такъв метод, а и вашето ,,решение" попада, и наистина е по-различно само по отношение на ,,операцията", но пък не е вярно решение (а аз го похвалих) именно защото сте орязал операцията от статията и ,,вашата" операция (тя също е от статията и не е ваша) не винаги може да се приложи и не винаги увеличава броят на страните с дъга равна на $360°/n$ (дори докато е по-малък от $n$).

Вие твърдите невярното:

,,Ако многоъгълникът не е правилен, то със сигурност ще има две съседни страни, едната от които заключва дъга, по-голяма от 360°/n, а другата заключва дъга , която е по-малка от 360°/n ." - вземете четириъгълник със дъги 90°, 60°, 90°, 120°, например.

Оказва се, че Вие (погрешно) си мислите, или поне внушавате на другите, че разместването на две съседни дъги и постигането с него на такова подреждане на дъгите, при което те да нарастват (не непременно строго) по големина (като се тръгне от една до изчерпването им) не е съществена част от решението предложено в статията. Съответно, не е налице ваше подобрение на решението от статията, а и въобще не излагате решение (защото и не излагате и това от статията). Критиките Ви към непълнотата на други решения, обаче, бяха основателна проява на прецизност както са основателни и настоящите мои забележпи по пълнотата на предложеното от Вас ,,решение", доколкото и тъй като може да се извлече от вашите текстове наличие на такова Ваше предложение на Ваш вариант на ,,решение"

Уважаеми г-н Симеонов,

Напълно съм съгласен с изложените от Вас забележки и искрено съжалявам, че сте ми дал тази точка прибързано. Затова, смирено моля администратора на сайта да ми я отнеме.
След като присъдата е произнесена, бих искал да се възползвам от правото си на последни думи и да кажа за мое оправдание следното:

Съжалявам, ако в някакъв момент съм оставил впечатление у читателите, че претендирам за оригиналност и авторство в решението на задачата. Единствената ми цел беше да реферирам към тази статия, която така или иначе споделих. Извинявам се за неумелото представяне на идеята в тази статия. Аз наистина исках съвсем бегло да опиша за какво става въпрос, нямах за идея да бъда изчерпателен. Все пак, пълното решение вече си е описано в статията. Приемам, че не съм се справил добре с тази си цел, както и Вие много ловко ме разобличихте.
Все пак аз се радвам, че предизвиках дискусия, тъй като на мен лично са ми интересни този тип задачи.
Благодаря и на Вас за проявения интерес и за това, че обогатихте темата с Вашите разсъждения.

И накрая, може ли да си позволя да отправя едно малко предизвикателство към Вас? Какво мислите за последната задача, предложена за упражнение във въпросната статия? Преди години я бях предлагал в този форум, но ми е интересно да видя как Вие бихте подходил към нея!

Правя последна препратка - по мои далечни спомени, неравенството от МОМ '2001 (зад. 2) също можеше да се реши с този метод на приближенията. Може някой да опита. Предварително се извинявам, ако спомените ми си играят лоша шега с мен.

Ето и линк към пълния архив от задачи на МОМ.

https://www.imo-official.org/problems.aspx

Прибързано или не, аз още тогава забелязах, че проявяваате прецизност и сериозно математическо мислене, а сега още повече ме убедихте, че напълно си заслужавате похвалната точка. Аз пък брагодаря за Вашето участие. Наистина се получи полезна дискусия. Ще помисля по Вашето предизвикателство, но първо ми трябва малко време за други неща. А Вие разбрахте ли и одобррявате ли в подробности моя прочит и известно подобрение на алгоритъма от статията от ,,Квант"? Ще се радвам ако откриете някакви недостатъзи в моя текст, за да го подобря.

[ptj]

Г-н Симеонов , съгласен съм забележките, но не нацяло .



Има начин да се изчисли намалянето на сумата на елементите в n-орките за всяко завъртане на цикъла, но не е лесно (изискава подходящо представяне на всички входни данни).
Но тъй като самото предложено от мен решение дълго и сложно (има други по-кратки и лесни за разбиране) , предпочитам да спра дискусията за него.

[Румен Симеонов]

Г-н Симеонов , съгласен съм забележките, но не нацяло .



Има начин да се изчисли намалянето на сумата на елементите в n-орките за всяко завъртане на цикъла, но не е лесно (изискава подходящо представяне на всички входни данни).
Но тъй като самото предложено от мен решение дълго и сложно (има други по-кратки и лесни за разбиране) , предпочитам да спра дискусията за него.

Вашата заслуга да хубавата задача/тема, но също и за хубавите идеи е неоценима. Вашата интуиция е също безценна. Аз се опитах да проведа вашето решение/идея и успях, макар и в малко видоизменен/опростен вариант. Може да се каже, че полученото решение е и на двама ни заедно, мисля. Неговото предимство е в това, че не е необходимо да имаме ефективна процедура за сравняване с краен брой стъпки, на лицата на един неправилен $n$- ъгълник вписан в акръжнаст $C$ с лицето на правилните $n$- ъгълници вписани в $C$. Сложността на едно решение е нещо леко относително. Човек за който мисленето със супремуми и със сходящи подредици (теор. на Вайерщрас) е лесно нещо, може да каже, че нашето решение е по-просто от това, което е дадено в статията от ,,Квант", защото използваме само едно от подготвителните твърдения от ,,Квант" - това за повишанане лицето на един неправилен вписан $n$-ъгълник, като не ни се налага да използваме помощното твърдение за разместване страните (което макар и лесно иска думи за споменаване, най-малкото, а и за доказване), но и (което е по-важното) не ни се налага да оформяме (и доказваме) специален аргоритъм за последователно ефективно стигане с краен брой стъпки до правилен $n$-ъгълник чрез циклично провеждане на хитроумни размествания от тип сортиране (впрочем, ако трябва ефективно да се извършва, сортирането е ресурсоемка/времеемка дейност) и чрез стъпки на (циклично) преминаване към многоъгълник с по-голямо лице.

[ptj]

...

И накрая, може ли да си позволя да отправя едно малко предизвикателство към Вас? Какво мислите за последната задача, предложена за упражнение във въпросната статия? Преди години я бях предлагал в този форум, но ми е интересно да видя как Вие бихте подходил към нея!

Правя последна препратка - по мои далечни спомени, неравенството от МОМ '2001 (зад. 2) също можеше да се реши с този метод на приближенията. Може някой да опита. Предварително се извинявам, ако спомените ми си играят лоша шега с мен.

Ето и линк към пълния архив от задачи на МОМ.

https://www.imo-official.org/problems.aspx

Имам един въпрос:

Подобни "глупави" неравенства много често са свързани с локалните екстремуми на функции на много променливи.
Когато те са симетрични спрямо различните променливи естествено и техните частни производни изглеждат по един същ начин (спрямо разглежданите променливи).
Въпроса ми е:
Не следва ли от някоя от теоремите за екстремуми на подоби функции, че ако има такива те ще са точно при равенство между всички променливи (заради инвариантността на частните производни)?

[Genie_Almo]

Не съм запознат дали има подобно следствие. Но чисто логически ако погледнем, една такава теорема би доказала бомбастичното за мен положение, че всяка симетрична функция има най-много един екстремум. Допускам, че лесно могат да се намерят контрапримери. Разбира се, може и да греша.

...

Допълвам отговора си, защото си давам сметка, че може би избързах с горното заключение. Може би не съм прав за единствеността на екстремума при равни променливи. Все пак ми е трудно да повярвам, че само заради едната симетрия екстремумите винаги ще се постигат при равни стойности. Има специфични функции, като тригонометричните, със специфично циклично поведение - там едни и същи екстремуми могат да се постигат чрез подбор на различни стойности. Само да помислим за една базова функция като sin(x)+sin(y). При какви стойности на променливите имаме минимум?

Освен това, подобни "глупави" неравенства често са свързани и с допълнителни ограничения - променливи само от дясната страна на 0-та; фиксирана сума; фиксирано произведение и т.н. Каква е максималната сума на квадратите на две неотрицателни числа с фиксиран положителен сбор?

Интересно ще ми е да видя аргументи в другата посока. Не съм задълбавал, може нещо на мен да ми се губи

[ptj]

Именно при фиксирана сума [tex]x+y[/tex] функцията [tex]sin(x)+sin(y)[/tex] има локален екстремум при [tex]x=y[/tex].

Наличието на повече от един екстремум, не е в противоречие с моя въпрос.
Аз питам не следва ли от инвариатността на частните производни, че ако същетсвуват локални екстремуми, то винаги един от тях е при равенство на всички променливи.

Само един пример: Доколкото си спомням всички "забележителни" симетрични неравенства се достигат при равенство на участващите промелвиви (или евентуално някоя тяхна симетрична функция).
---------------------------------------------------------------------------------
Всъщност може би следващия въпрос е по-важен:

Възможно ли е функция на много променливи, която е симетрична спрямо всяка една от тях, да има седлови точки?

[grav]

Възможно ли е функция на много променливи, която е симетрична спрямо всяка една от тях, да има седлови точки?

[tex]f(x,y) = xy[/tex]

[Румен Симеонов]

ВСИЧКО Е ВЪЗМОЖНО
Приемам, че говорите за ,,симетрия" изразяваща се с равенство $f(x_1,...,x_n) = f(x_2,...,x_n,x_1)$. При $n=3$, тази симетрия се изразява в инвариантност на графиката на функцията при въртене на 120° около оста $x_1=x_2=x_3$. Да се ограничим с хомогенни функции: $f(tx_1,...,tx_n) = f(x_1,...,x_n), n=3$ и то такива, които са дефинирани (само) за положителни стойности на провенливите. В равнината $x_1+x_2+x_3=1$ въвеждаме координатна система $Apq$. Тогава нашата функция се изразява чрез друга $r=g(p,q)$, която е инвариантна п1ри въртене $(p',q')=g(ρ(p,q))$ на 120°: $g(ρ(p,q))=g(p,q)$. За да дефинирате такава функция първо я дефинипайте в един сектор от 120° и после на два пъти я завъртете на по 120°. Ако се погрижите в ръбовете на първия сектор от 120° функцията да се анулира (а даже и производните й да се анулират) няма да имате проблем да слепите хубава функция дефинирана в 3 на бпой сектора от по 120°. Сега забележете, че в първия сектор, например на разстояние 1 от точката $A$ около която се върти можете да осигурите функцията да има ненулев екстремув, а също и седлова точка с ненулева стойност на функцията. При двукратното въртене на по 120° ще получите функция в чиито екстремуми и седлови точки функцията има равни стойности.
Доказах, че ВСИЧКО Е ВЪЗМОЖНО, вкл , че симетричните функции не са длъжни да имат само 1 екстремум и то само при равни стойности на. променливите. Променливите бяха само положителни т.е. - дефинирахме функция дефинирана само в 1-и октант на променливите $x_1,...,x_3$. Ако сте се погрижили за подходящо подхождане към стените на октаната ще мжете лесно да додефинирате подобна функция (и то хомогенна) дефинирана за произволни $x_1,...,x_3$, която няма да има екстремум при равни стойности на променливите (нито седлови точки там), но ще има 3 екстремума с напълно еднакви стойности на функцията в техни околности, както и ще има и 3 ,,еднакви" седлови точки.