Известна но красива задача

[ins-]

В триъгълник [tex]ABC[/tex] е вписана окръжност [tex]k[/tex] с радиус [tex]r[/tex]. [tex]T_1, T_2, T_3[/tex] са допирните точки на [tex]k[/tex], съответно, със страните [tex]AB[/tex], [tex]BC[/tex], [tex]CA[/tex]. Ако [tex]r_1, r_2, r_3, r_4[/tex] са радиусите на окръжностите, вписани в триъгълниците [tex]AT_3T_1[/tex], [tex]BT_1T_2[/tex], [tex]CT_2T_3[/tex], [tex]T_1T_2T_3[/tex], да се докаже, че: [tex]r=\frac{1}{2}(r_1+r_2+r_3+r_4)[/tex].

[ganka simeonova]

Страхотна задачка:) Инс ме предизвика, като каза, че имало повече сметки:) Моето решение е без сметки:)))
Ясно е, че вписаната в АВС окръжност е описана около [tex]\Delta T_1T_2T_3[/tex]
[tex]\Delta AT_1T_3[/tex]- равнобедрен=>[tex]T_1I_1=T_3I_1=>I_1\in S_{T_1T_3}=>I\in S_{T_1T_3}[/tex]
[tex]=>I_4\in T_2I_1=>I_1\in[/tex] описанатa около [tex]\Delta T_1T_2T_3[/tex].
Тогава:[tex]IF=II_1-FI_1=r-r_1[/tex] Аналогично [tex]IQ=r-r_2; IP=r-r_3[/tex]
Но[tex]IF, IQ, IP[/tex] са разстоянията от центъра на описанатa около [tex]\Delta T_1T_2T_3[/tex].
Тогава по теоремата на Carnot=>
[tex]IF+IQ+IP=R_{T_1T_2T_3}+r_{T_1T_2T_3}[/tex]=>

[tex]r-r_1+r-r_2+r-r_3=r+r_4=>2r=r_1+r_2+r_3+r_4[/tex]

[ins-]

Благодаря за краткото и красиво решение. Задачата би могла да се реши и по други начини. Стигнах сам до нея и ще се радвам да разбера повече за първоизточника ѝ.