Нечетни числа с нечетни цифри

[ivan239]

Вярно ли е, че за всяко нечетно число има кратно, което е записано само с нечетно цифри.

[Гост]

-2 , -1/2

[ivan239]

ЗА естествени числа говорим

[mail_dinko]

Не е вярно (според мен)
97 е кратно на 97 но 194 има 4 а то си е четно

[ivan239]

Объркал си условието

[Гост]

Означаваме нечетното число с p. Нека (p,5)=1. Разглеждаме числото, образувано от [tex]\varphi(p)[/tex] наброй единици. [tex]1111...1=\frac{10^{\varphi(p) }-1 }{9 }\equiv 0(modp)[/tex],защото (10,p)=1.

Нека 5/p. Нека най-високата степен на 5, която дели p е s. По индукция можем да докажем, че за всяка степен на 5 съществува кратно на него, записано само с нечетни цифри. База за s=1,2,3 са числата а1=5, а2=75, а3=375. Нека 5^n/a(n). Разглеждаме числата [tex]\overline{1a(n)}, \overline{3a(n)}, \overline{5a(n)}, \overline{7a(n)}, \overline{9a(n)}[/tex] Ясно е че всички те се делят на 5^n и че едно от тях се дели на 5^(n+1)(защото всички дават различен остатък по модул 5^(n+1)). Така индукцията е завършена.
Означаваме p=5^s.k, като (k,5)=1. От индукцията сме намерили а(s). Написваме го [tex]\varphi (k)[/tex] пъти едно до друго. Полученото число се дели на 5^s и аналогично на първия случай се дели и на k, т.е изпълнява условието.

[ivan239]

Браво, много красиво решение, истината е, че аз не я бях решил, не знаех дори дали тази задача има решение, бях стигнал само до където беше твойта индукция. Както обещах, ето и почерпката друга задача
x^n+y^n=z^n

[Xixibg]

И какво трябва да се прави?

[ivan239]

трябва да докажеш, че няма такива числа при n>2 (n e естествено) ( това е известната задачата на Ферма, която едва ли някой ще реши) просто я пуснах на шега.

[anotherone]

И на Андрю Уаилс сигурно са му казали,че едва ли ще я реши,ама...току виж някой съфорумец след няколко години я решил...

[Гост]

Означаваме нечетното число с p. Нека (p,5)=1. Разглеждаме числото, образувано от [tex]\varphi(p)[/tex] наброй единици. [tex]1111...1=\frac{10^{\varphi(p) }-1 }{9 }\equiv 0(modp)[/tex],защото (10,p)=1.

А ако p се дели на 3?

[ivan239]

в решението му има някои пропуски, но са поправими
Например може вместо да разгледа числото 11...1 да разгледа числото 99....99и така ще заобиколи тройката

[Гост]

в решението му има някои пропуски, но са поправими
Например може вместо да разгледа числото 11...1 да разгледа числото 99....99и така ще заобиколи тройката

Именно. Просто исках да кажа "По внимателно с делението по модул".