Залепяне на числа

[ivan239]

Имаме числата 11111,11112,11113....99999.Залепяме ги едно до друго всичките числа по произволен начин.Може ли полученото 444445-цифреното число да е равно на 2^к (к- естествено).
Отново ще има почерпка за първия, решил задачата.

[alexander_ivanov]

Това е една от задачите,с които утре трябва де се проведат математически боеве( става въпрос за школата за балканската олимпиада) моля всички,които искат да дават решение да почакат до утре 16:00

[ivan239]

приятел спокойно,аз така или иначе нямаше да я използвам решението на задачата утре просто исках да видя решението

[alexander_ivanov]

радвам се но все пак всичко трябва да е честно спрямо отборите
така че ....

[ivan239]

разбира се

[Гост]

Полученото число се дели на 11111, така че не може да е степен на двойката

[Гост]

А как разбираш, че се дели на 11111?

[Гост1]

Наистина се дели на 11111.
Нека полученото число е A. Тогава нека [tex]A=a_1+10^5a_2+10^{2\cdot5}a_3+\cdots+10^{5\cdot88889}a_{88889}[/tex], където [tex]a_1,a_2,\ldots a_{88889}[/tex] са всъщност числата 11111,11112,...,99999 в някакъв ред (тези числа са 99999-11111+1=88889). Сега [tex]A-(11111+\cdots+99999)=a_1(10^0-1)+a_2(10^5-1)+a_3(10^{2\cdot5}-1)+\cdots+a_{88889}(10^{5\cdot88889}-1)[/tex]. Съобразяваме, че [tex]10^{5\cdot k}-1[/tex] се дели на [tex]10^{5}-1=9\cdot11111[/tex]. Следователно [tex]A-(11111+\cdots+99999)[/tex] се дели на 11111. Но [tex](11111+\cdots+99999)=\frac{11111+99999}{2}88889=11111\cdot5\cdot88889[/tex]. Следователно S се дели на 11111.