IWYMIC'2010, Team contest, Problem 3

[Гост]

Нека m и n са цели числа такива, че [tex]m^{3}+n^{3}+1=4mn[/tex] и [tex]m\ge n[/tex]. Да се намери максималната стойност на израза m-n.

[Гост]

Можем да положим mn=y и m+n=x. Полученото уравнение ще е линейно относно y.Изразяваме y=(x^3+1)/(3x+4). Оттук 3x+4/27(x^3+1). Ако означим d=(3x+4,27x^3+27) след преобразуване стигаме до d/37. Всички решения (x;y) са двойките (11;36) и (-1;0). Оттам единствено решение на началното уравнение е (0;-1), т.е. m-n=1.

[inveidar]

Добро и поучително решение. Браво!