Една задача на Стоянов

[martin123456]

Задача: Квадратното уравнение [tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex] има реални корени. Докажете, че [tex]f(1)\le \frac{9}{4}max(a,b,c)[/tex]

[inveidar]

На r2d2 е.

[martin123456]

http://estoyanov.net/forum/viewtopic.php?f=30&t=34

Решение:

Скрит текст: покажи

[tex]D=b^2-4ac[/tex].
1. Ако [tex]ac\le 0 \Rightarrow D\ge 0[/tex]. Значи не може и двете [tex]a,c[/tex] да са отрицателни и значи [tex]max(a,b,c)\ge 0[/tex]. Тогава ако [tex]f(1)\le 0[/tex] задачата е решена. Иначе имаме [tex]f(1)>0[/tex].
1.1. Нека max е [tex]a>0\ge c[/tex]. Искаме [tex]a+b+c\le \frac{9}{4}a \Leftrightarrow b+c \le \frac{5}{4}a[/tex] и тъй като [tex]c\le0, b\le a\Rightarrow b+c\le a\le \frac{5}{4}a[/tex].
1.2. Нека max e [tex]b>0[/tex]. Искаме [tex]a+b+c\le \frac{9}{4}b\Leftrightarrow a+c \le \frac{5}{4}b[/tex]. Едно от числата [tex]a,c[/tex] е неположително, а другото е неотрицателно и значи последното неравенство се свежда до неотрицателното по-малко или равно на дясната страна, което е вярно.
1.3. Нека max e [tex]c>0\ge a[/tex]. Искаме [tex]a+b+c \le \frac{9}{4}c\Leftrightarrow a+b \le \frac{5}{4}c[/tex]. По същия начин както в 1.1. това е вярно.

2. Ако [tex]ac>0[/tex]. Трябва да имаме [tex]b^2 \ge 4ac[/tex]. [tex]a,c[/tex] имат еднакви знаци.

2.1. Ако [tex]a,c<0[/tex]. Трябва да докажем, че [tex]a+b+c \le \frac{9}{4}max(a,b,c)[/tex] и значи може да докажем, че [tex]a+b+c <b \le \frac{9}{4}max(a,b,c)[/tex].
2.1.1. Ако [tex]b\ge 0[/tex] то това е очевидно.
2.1.2. Иначе всички коефициенти са отрицателни. Ако и двете [tex]a,c[/tex] са по-малки от [tex]\frac{b}{2}[/tex] то дискриминантата е отрицателна. Значи максималното число не е [tex]b[/tex].
Без ограничение, нека е [tex]a\ge \frac{b}{2}[/tex]. Искаме да докажем, че [tex]a+b+c\le \frac{9}{4}a \Leftrightarrow b+c \le \frac{5}{4}a[/tex]. Можем да докажем, че [tex]c \le -\frac{3}{4}a[/tex], което е очевидно.
2.2. Ако [tex]a,c>0[/tex]. Отново, ако и двете числа [tex]a,c[/tex] са по-големи от [tex]\frac{b}{2}[/tex] следва че дискриминантата е отрицателна. Значи поне едното е по-малко или равно на [tex]\frac{b}{2}[/tex], откъдето пък следва, че [tex]b>0[/tex]. Без ограничение, нека [tex]a\le \frac{b}{2}[/tex].
2.2.1. Нека max e [tex]b[/tex]. Трябва да докажем, че [tex]a+b+c \le \frac{9}{4}b\Leftrightarrow a+c \le \frac{5}{4}b[/tex]. Ако [tex]c\le \frac{b}{2}[/tex] неравенството е очевидно. Ако [tex]c>\frac{b}{2}[/tex]. Нека [tex]a=\frac{b}{k}\le \frac{b}{2}\Rightarrow k \ge 2[/tex]. От дискриминантата [tex]c \le \frac{bk}{4}[/tex]. Сега неравенството е [tex]a+c=\frac{b}{k}+c \le \frac{5}{4}b[/tex]. Ако [tex]\frac{bk}{4} \le b \Leftrightarrow k \le 4\Rightarrow[/tex] трябва да док, че [tex]\frac{b}{k}+\frac{bk}{4}\le \frac{5}{4}b \Leftrightarrow k \le 4[/tex]. Ако не, то трябва да докажем, че [tex]\frac{b}{k}+b \le \frac{b}{4}+b=\frac{5b}{4}[/tex]. Очевидно.
2.2.2. Нека max e [tex]c[/tex]. Нека [tex]b=\frac{c}{k}\le c\Rightarrow k \ge 1[/tex]. Ако [tex]a<\frac{c}{4}[/tex] следва ок. Иначе, от дискриминантата имаме [tex]a \le \frac{c}{4k^2}[/tex]. И значи [tex]k<1[/tex]. Противоречие.

[Xixibg]

Нещо не разбирам,
Мартин си намира някъде из интернет задача, решава я и я поства като задача на седмицата.Но защо го прави ???????

[inveidar]

2.1.2. ...
Без ограничение, нека е [tex]a\ge \frac{b}{2}[/tex]. Искаме да докажем, че [tex]a+b+c\le \frac{9}{4}a[/tex] или от 9/4b? [tex]\Leftrightarrow b+c \le \frac{5}{4}a[/tex]. Можем? да докажем, че [tex]c \le -\frac{3}{4}a[/tex], което е очевидно.

Това не ми е много ясно.

[martin123456]

Ами помисли

[inveidar]

2.1.2. ...
Без ограничение, нека е [tex]a\ge \frac{b}{2}[/tex]. Искаме да докажем, че [tex]a+b+c\le \frac{9}{4}a[/tex] или от 9/4.c? [tex]\Leftrightarrow b+c \le \frac{5}{4}a[/tex]. Можем? да докажем, че [tex]c \le -\frac{3}{4}a[/tex], което е очевидно.

Както съм означил в червено(объркал съм c с b), няма гаранция, че максимумът е a. Ако е c, какво става?

[martin123456]

помисли

[Гост]

задачата е еквивалентна на a+b+c<= 9/4* max(a,b,c)? при условност b^2>=4ac
без ограничение а<=с. 1) b<=a<=c 1.1) ako b<=0, то а<=0 и b<=1/4*c, независимо от положението на c спрямо 0-та, понеже b<=c. тъй като b<=a<=c, то c-a>=0 и b<=1/4*c<=1/4*c+c-a 1.2) ako b>0, 0<b<=a<=c няма как b^2>=4ac
2) a<=b<=c. 2.1) ако b<=0 разсъжденията са същите като 1.1. 2.2) ако b>0, a<=0. тогава c>0 и c-a+1/4c>=c>=b.
ако 0<a<=b<=c, b^2>=4ac. тогава1>=b/c>=4a/b, т.е. a<=b/4. тогава a+b<=b/4+b<=c+c/4
3) а<=c<=b, b^2>=4ac. 3.1) ако a<=0, то а<=1/4а<=1/4*b и а+c<=b/4+b, зашото а<=b/4, c<=b
3.2) ako 0<a<=c<=b, b^2>=4ac. Тогава c=b-k, a=b-k-l, k,l>=0.
тогава b^2>=4(b-k)(b-k-l), което след разкриване на скобите се свежда до 3b^2+4k^2+4lk<=8bk+4lb (:4b>0)
следователно получаваме 3/4*b+k^2/b+lk/b<=2k+l следователно 3/4b<=2k+l.
тогава a+b+c=b+(b-k)+(b-k-l)=3b-2k-l<=3b-3/4*b=9/4*b

[Гост]

извинявам се,че в 1.1. направих погрешен извод, че a<=0, но това така или иначе не се се използва в по-нататъшните разсъждения. не знам защо го написах.