Описани окръжности

[ins-]

Триъгълник [tex]ABC[/tex] е описан около окръжност с радиус [tex]r[/tex], чиито допирни точки, съответно, със страните [tex]BC[/tex], [tex]CA[/tex], [tex]AB[/tex] са [tex]A_1, B_1, C_1[/tex]. Радиусите на описаните около триъгълниците [tex]AB_1C1[/tex], [tex]BC_1A_1[/tex], [tex]CA_1B_1[/tex] окръжности са, съответно [tex]r_1[/tex], [tex]r_2[/tex], [tex]r_3[/tex]. Да се докаже, че: [tex]r^3r_1r_2r_3+r^2(r_1^2r_2^2+r_2^2r_3^2+r_3^2r_1^2)=4r_1^2r_2^2r_3^2[/tex].

[kucheto]

Нека [tex]I[/tex] е центърът на вписаната окръжност. Понеже [tex]\angle AB_1I=\angle AC_1I=\frac{\pi}{2}[/tex], то 4-те точки лежат на окръжност с диаметър [tex]AI[/tex], а от правоъгълния [tex]\triangle AB_1I:\ r=B_1I=AIsin\frac{\alpha}{2}\Rightarrow r_1=\frac{AI}{2}=\frac{r}{2sin{\frac{\alpha}{2}}}.[/tex] Аналогично: [tex]r_2=\frac{r}{2sin{\frac{\beta}{2}}},\ r_3=\frac{r}{2sin{\frac{\gamma}{2}}}.[/tex] Като съкратим и рационализираме, получаваме:
[tex]sin^2\frac{\alpha}{2}+sin^2\frac{\beta}{2}+sin^2\frac{\gamma}{2}+2sin{\frac{\alpha}{2}}sin{\frac{\beta}{2}}sin{\frac{\gamma}{2}}=1.[/tex] Въвеждаме: [tex]\frac{\alpha}{2}=\frac{\pi}{2}-\alpha_1,\ \frac{\beta}{2}=\frac{\pi}{2}-\beta_1,\ \frac{\gamma}{2}=\frac{\pi}{2}-\gamma_1,\ \alpha_1+\beta_1+\gamma_1=\pi.[/tex] Тъждеството се преобразува до: [tex]cos^2\alpha_1+cos^2\beta_1+cos^2\gamma_1+2cos\alpha_1cos\beta_1cos\gamma_1=1,[/tex] но това е добре известно тъждество (което важи не само за остроъгълен триъгълник, както в случая), с което задачата е решена.

[Гост]

Задачата и тъждеството биха могли да се докажат и по друг начин. Например, като се използва, че [tex]cos \alpha + cos \beta + cos \gamma = 1 + \frac{r}{R}[/tex] и [tex]\frac{r}{R}=4\sin \frac{\alpha}{2}\sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2}[/tex]. Също така - подобна зависимост би могла да се намери за [tex]R[/tex] и [tex]r_1, r_2, r_3[/tex]. Интересен момент е, какво би станало, ако [tex]A_1, B_1, C_1[/tex] са произволни точки, а вместо вписана окръжност имахме - описана около [tex]A_1B_1C_1[/tex] окръжност. Друг въпрос, който можах да измисля беше следният:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 9&t=499549