Неравенство с четири променливи

[ins-]

Да се докаже, че за всеки четири реални числа [tex]a, b, c, d[/tex] е в сила неравенството: [tex](a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+d^2)(d^2+a^2) \geq (ab+cd)(ad+bc)(ac+bd)^2[/tex].

Задачата е много лесна - не е за тук, но не мога да изтрия съобщението.

[dim]

Да се докаже, че за всеки четири реални числа [tex]a, b, c, d[/tex] е в сила неравенството: [tex](a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+d^2)(d^2+a^2) \geq (ab+cd)(ad+bc)(ac+bd)^2[/tex].

Задачата е много лесна - не е за тук, но не мога да изтрия съобщението.

То е много лесно, обаче ако е написано правилно. Не знам защо, но имам странното усещане, че последния член от произведението не трябва да е [tex](ac+bd)^2[/tex], а е [tex](ac-bd)^2[/tex]. Иначе се използва едно тъждество: [tex](a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2[/tex]. Съответно имаме и тъждеството [tex](b^2+c^2)(d^2+a^2)=(bd-ac)^2+(ab+cd)^2[/tex]. Сега от [tex]AM\ge GM[/tex] => [tex](a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+d^2)(d^2-a^2) \geq (ab+cd)(ad+bc)(ac-bd)^2[/tex].

[Гост]

Грешно усещане имаш. Задачата е правилно написана и има поне 3 начина да се реши както е.

[dim]

Да, сега виждам - грешно усещане и грешно решение. Писал съм глупости снощи.

[Гост]

Нищо, от умора или бързина стават подобни неща. На всеки може да се случи. Реших задачата по някакъв странен начин и затова се подлъгах, че е по-трудна и я пуснах.