Задача с ортоцентър

[ins-]

Остроъгълният триъгълник [tex]ABC[/tex] с ортоцентър [tex]H[/tex] е вписан в окръжност [tex]k[/tex]. През [tex]H[/tex] е прекарана права [tex]l.[/tex] [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex] са пресечните точки на [tex]l[/tex] със страните [tex]AC[/tex] и [tex]BC[/tex]. [tex]k'[/tex] е окръжност през [tex]M[/tex], [tex]N[/tex] и [tex]C[/tex]. [tex]P[/tex] е втората пресечна точка на [tex]k[/tex] и [tex]k'[/tex]. През [tex]P[/tex] и [tex]H[/tex] е построена права, пресичаща [tex]k'[/tex] в точка [tex]Q[/tex]. Да се докаже, че [tex]MN \perp CQ[/tex].

[georgi111]

Много красива задача предполагаща красиво и елегантно решение... Ето го и него. Нека [tex]AH \cap k = A_1, BH \cap AC = B_1, CH \cap k = C_1, B_1M \cap k = X, \angle MHB_1 = \angle MB_1H = \alpha, \angle NHA_1 = \angle NA_1H = \beta[/tex] (последните равенства следват от факта, че симетричните точки на ортоцентъра лежат на описаната около триъгълника окръжност). Освен това лесно имаме,че [tex]\alpha + \beta = \angle ACB[/tex].Сега лесно следва, че [tex]X, N, A_1[/tex] лежат на една права (или теорема на Паскал за [tex]AB_1CA_1BX[/tex], или ako [tex]XA_1 \cap BC = N_0,\angle HA_1N_0 = \angle AA_1X = \angle ACX = \beta', \angle XB_1B = \angle XCB = \alpha[/tex]т.е. [tex]\alpha + \beta' = \angle ACB = \alpha + \beta[/tex]t.e. [tex]\beta=\beta'[/tex] или [tex]N=N_0[/tex]). Така установихме , че [tex]B_1M \cap A_1N = X[/tex]. Сега не е трудно да се установи, че описаните окръжности около [tex]B_1MH, A_1NH[/tex] се пресичат върху [tex]k[/tex] точно в точката [tex]P[/tex]. За целта нека се пресичат в точката [tex]Y[/tex] (както е на втората част на чертежа). Лесно пресмятаме [tex]\angle A_1XB_1 = \angle B_1XC + \angle CXA_1 = \angle B_1BC + \angle CAA_1 = 180 - 2\angle ACB[/tex], [tex]\angle A_1YH = 180 - (180 - 2\alpha) = 2\alpha, \angle B_1YH = 180 - (180 - 2\beta)=2\beta[/tex]. Тогава [tex]\angle A_1YB_1 = 2\alpha + 2\beta, \angle A_1YB_1 + \angle A_1XB_1 = 180(2\alpha + 2\beta = 2\angle ACB)[/tex]т.е. [tex]Y[/tex] лежи на [tex]k[/tex](забележка: от горните вериги равенства на ъгли следва че [tex]Y,X[/tex] са от различни полуравнини на [tex]A_1B_1[/tex]-защо?). Сега имаме последователно [tex]\angle HYN = \angle NA_1H = \beta, \angle HYM = \angle HB_1M = \alpha[/tex],[tex]\angle MYN = \angle HYM + \angle HYN = \alpha + \beta = \angle ACB[/tex], освен това [tex]Y, C[/tex] са в една и съща полуравнина относно [tex]MN[/tex](защо?) и от [tex]\angle MYN = \angle ACB[/tex] следва,че [tex]Y[/tex] лежи на [tex]k'[/tex] откъдето следва че [tex]P=Y[/tex]([tex]P[/tex] лежи едновременно на [tex]k,k'[/tex]). Последно имаме [tex]\angle MB_1H = \angle MPH = \angle MPQ = \angle MCQ = \alpha, \angle CMH = 90 - \alpha[/tex] откъдето следва вече , че [tex]CQ \bot MN[/tex]

[ins-]

Благодаря за красивото и елегантно решение. Ще кажа за него само една дума - гениално.