Уравнение в цели числа

[ins-]

Да се реши в цели числа уравнението: [tex]x^3+3y^3=5z^3[/tex]

[ins-]

Скрит текст: покажи

Задачата е на georgi111 и реших, че си струва да се види, а и да разнообразя малко раздела, защото само геометрични задачи пусках, с честота - по малка от една седмица, но преди време имаше по-големи интервали, в които не са пускани нови задачи.

[grav]

Тази ми стана интересна, никой ли не е готов вече?

Ако, поне едно от неизвестните е нула е ясно. Също така е ясно, че е достатъчно да се намерят решения без общ делител и тези, за които х е положително.

За сега намерих лесно (2,-1,1) и (4,13,11) и с малко повече труд и (52984, 87347, 71797). Не ми хрумва нищо хитро.

[Гост]

Задачата е творение на бате Гошо, но няма време да я опише и си прави експерименти да види колко е трудна.
Има безброй много решения това уравнение, които биха могли да се зададат с формули.

[Гост]

[tex]x^3 + 8y^3 - 5y^3=5z^3[/tex]
[tex](x+2y)(x^2 -2xy + 4y^2)=5(z+y)(z^2 - zy + y^2)[/tex]
Това, според автора на задачата би трябвало да са началните стъпки, но по-интересно е кои са по-нататъшните.

[Xixibg]

Ами ето Ви една от по нататъшните стъпки.
1.[tex]x^2-2xy+4y^2>0 ; z^2-zy+y^2>0 ; x,y,z\in R[/tex].От тук намираме една зависимост[tex]x+2y=0 ; =>z+y=0 ; =>x=-2y=2z[/tex]
2.Дясната страна се дели на 5 следователно и лявата трябва да се дели на 5.Доказваме че [tex]x^2-2xy+4y^2[/tex] се дели на 5 когато и [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] се делят на 5 , което води след себе си че [tex]z[/tex] също се дели на 5 ,при което попадаме в цикъл водещ до противоречие. Следователно 5 дели [tex]x+2y[/tex]

[Гост]

Ако трябва с оръдие да стреляме по врабче - може да използваме материал от книгата по-долу.
http://www.scribd.com/doc/38926701/Theo ... 87-49922-2
"Diophantine equation of degree 3" и "Super Ferma equations".

[Гост]

Това прави уравнението донякъде стандартно, което не е много добре, от друга страна - ще имаме надежден механизъм за проверка на нашите разсъждения.
Как би трябвало да продължи решението?

[Гост]

Според мен, е с разглеждане на остатъци при деление на 5 и 90 и 10 случая

[georgi111]

Xixibg на прав път си С твоите разсъждения може да "скъсиш" и да елиминираш някой случай. Мерси за добрата идея. Бате Боби много полезна статия си изнамерил - много добро четиво, браво.

[drago]

...Май е време за решението?!

[Гост]

И аз така мисля.

[inveidar]

А дали авторът има такова?

[Гост]

Твърди, че има - без елиптични работи и супер теория. По думите му "това е лесно уравнение за СИП'". Просто действително е зает и иска реално да изпробва сложността на задачата.

[georgi111]

Има такова , но в момента съм малко не в час - много работа , преместване, също в траур заради преждевременната смърт на Светлозар Дойчев - един от много добрите учители по математика и мой учител ;( ;(. Почивай в мир Светльо, дано си на едно по-добро място дето няма болка и тъга!!!
P.S. Ще пусна решението на задачката много скоро ... извинявам се за забавянето

[Гост]

http://dxdy.ru/post640762.html#p640762

[Гост]

Не че на учителите не им се занимава, просто нямат нужното ниво, че да са полезни на някого (ако става дума за олимпиади, турнири, боеве (не гладиаторски, че и такъв случай имаше миналата учебна година) и т.н.). За да могат да водят (адекватни) школи, първо трябва да станат по-добри от учениците си. А това към 10-ти клас и нататък (т.е. когато младите олимпийски надежди започнат 10-ти клас) граничи с невъзможността.

[Гост]

Горният пост е за друга тема.

[Гост]

Георги, ще напишеш ли решението най-после?