Условно неравенство с четири променливи

[ins-]

Ако [tex]a,b,c,d[/tex] са реални положителни, числа такива, че [tex]a+b+c+d=4[/tex]. Да се докаже, че:
[tex]27\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\right) \geq 9\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)+8 .[/tex]

[ins-]

Скрит текст: покажи

Задачата не е моя, но ми хареса.

[drago]

Ако си измислил една задача и не си я видял отнякъде, то тя си е ТВОЯ. Това е. Нищо, че математиката има хилядолетна история и някой друг някога, някъде може да е стигнал до същото.
Ако решавам някаква задача и го направя сам, решението си е МОЕ, нищо, че още сто човека може да са го направили по същия начин.
И няма да ти пука, ако някой ти каже: "това го има еди къде си, ти си го преписал", защото ти си знаеш, че това не е така- ти и Онзи отгоре!
И кои са тези по опитни от тебе хора ?!!! Тези, които по състезанията дават едно към едно задачи давани по други състезания в чужбина, за които от самолет си личи, че са преписани! Няма да се подценяваш! Ако всичко това, което пускаш е твое(по-горе обясних в какъв смисъл), ти си един от най-добрите съставители на задачи в България.
И наистина е хубаво да не ги пропиляваш така, като ги пускаш във форуми. Защото може точно тези по-опитните да се възползват от това.

[drago]

Ами пак си ги пускай в Интернет, за да стигне до повече хора, само че преди това се пробвай да ги дадеш по някои състезания. Хем ще имаш по-голяма представа за трудността им, може да споделиш и този аспект и ще стане по-интересно точно за повечето хора, до които искаш да стигне.

[ins-]

"Състезателни задачи" е една от любимите ми теми
Контактувал съм с хора, които определят или биха могли да предложат задача за състезание/олимпиада.
Особен момент при мен е, че когато забелязвам някое твърдение много често е "изстрел в пространството".
Т.е. не винаги знам каква е трудността на забелязания факт за доказателство. Може да се окаже "много open problem", не винаги ми се губят месеци и седмици докато открия решение, много неща не знам и затова не винаги успявам да реша всяка задача свързана с факт, който съм забелязал. Бих могъл да работя заедно с още хора по решението на задачата, но за да е състезателна задача - тя не трябва да е компроментирана - т.е. колкото повече хора я знаят - толкова повече информация може да изтече и шансовете на участниците в състезанието няма да са равни - откъде мога да имам доверие на човека, който може да я реши? От друга страна - не всяка задача като сложност е добра за състезание - моите много често се оказват прекалено трудни и са по-подходящи за списание, където хората биха могли да помислят повече над тях. Това, че нямам решение ме притеснява да пратя нещо на хората и да кажа нещо от сорта на "пичове, вижте този факт - ако ви харесва може да го разцъкате - я излезе нещо - я не". Просто това са хора с много опит и вероятно голяма заетост и не искам да ги занимавам с глупости. Последното, което ме спира за нещо подобно е следното - малко се съмнявам, че в националния отбор влизат "възможно най-добрите състезатели" - особено след някои скандали напоследък. Според мен - състезанията са направени в известна степен да са по-лесни за тесен набор хора. Иска ми се да греша за това, много ми се иска и дано да греша. Друго, което ме съмнява е, че някъде "отгоре" им се спуска - постоянно да пада нивото. Малко е параноично това от моя страна и ми се иска и тук да греша. Това бих могъл да кажа, а и друго. Дано задачите, които измислям са стигнали до хората, предлагащи задачи за състезания и отговорни за състезанията и да са ги мотивирали да създадат/изнамерят нещо хубаво. Не съм специалист, но поне визуално някои от задачите по геометрия предлагани на тях през последните години ми харесват визуално, а отчасти и като решения.

[grav]

Ако ти се занимава и имаш време и енергия, можеш да ги подредиш и оформиш в книга. Най-лесно би било в електронна книга, и ако можеш на английски. Мисля, че би било полезно както за теб, така и за учениците.

[ins-]

Някой ден и това ще стане - постепенно ще започна, за сега са малко сигурно - предполагам, че са към 40-50 - поне 100 като станат може да направя нещо подобно. А ако направя книга или сайт - ще има задължително българска версия.

[drago]

... Последното, което ме спира за нещо подобно е следното - малко се съмнявам, че в националния отбор влизат "възможно най-добрите състезатели" - особено след някои скандали напоследък. Според мен - състезанията са направени в известна степен да са по-лесни за тесен набор хора. Иска ми се да греша за това, много ми се иска и дано да греша. Друго, което ме съмнява е, че някъде "отгоре" им се спуска - постоянно да пада нивото. Малко е параноично това от моя страна и ми се иска и тук да греша. ...

Извинявай, но какво означава: "състезанията са направени в известна степен да са по-лесни за тесен набор хора". Може би имаш предвид, че определен тесен набор от хора имат по-добра теоретична подготовка и са по-добре подготвени на определен тематика и се дават задачи, които изрично изискват такава подготовка, а не задачи, които могат да се решат и без тези знания?
Ако е това, то аз съм МНОГО НЕсъгласен с теб. Ще се опитам да обясня.
Виж Боби, забелязвам при много твои постове, че винаги искаш възможно най-простото решение, което е прекрасно, обаче в много случаи няма как да стане с материал от СОУ или пък ако може ще е много по "сложно" отколкото, ако се използва нещо, което прави нещата много по-прозрачни.
Освен това ограничавайки материала само до това, което се учи в училище ще зачеркнем много интересни и красиви задачи.
Хората, които искат да постигнат успех по състезания трябва да имат интерес и да са готови да се учат постоянно. За съжаление много е трудно, ако правят това самостоятелно без напътствия от добър учител и без школи, където да ги занимават. За съжаление в повечето места в провинцията това не става поради липса на пари, организация, добри учители(най-вече) и т.н. , което в никакъв случай не означава, че по състезания трябва да се дават прости задачи извадени от учебниците за СОУ.
Всъщност нивото на задачите пада, защото пада нивото на учениците, а не щото се спуска отгоре.
И не съм съгласен, че в националния отбор не влизат най-добрите. Ако някъде има корупционни схеми, това засяга ученици, които са приблизително равни, като случая на отбора за IMO. Тези, които са с класа по-добри няма как да ги прецакат. Така че, ако някой се чувства жертва нека първо погледне в себе си и се подготви така, че да да отнесе останалите като куцо пиле домат.

[Гост]

Имам в предвид - че в някои училища учат децата на по-заможни хора и респективно има по-добри учители, които вероятно са по-добре платени и се преподава повече материал и има повече изисквания. Целта е тези деца да изпъкнат над "простолюдието". Те не са по-добри от останалите. Просто имат достъп до повече ресурси и повече ги натискат да четат. Не винаги стават по-добри, защото децата на богатите хора често са по-разглезени. Това имам в предвид .
За мен нивото пада, защото или хората тук са си много прости, или ни се налага от външни държави това да е така.
В икономическо отношение страната е много зле под външни влияния ("България е кученце, което трябва да внимава да не го настъпят слоновете"), оттам и в морално, а ситуацията в математиката е отражение на обществото като цяло, нищо повече.

Това, че искам да е всичко със СОУ - наясно съм, че не всичко може да се реши с този материал и да се реши - може да е по-извратено и сложно, но е много красиво когато става и даже и аз го разбирам без да навлизам из дебелите фреймуърки. Не отричам развитието в математиката и красотата на непознатите за мен инструменти. Просто нямам достатъчно време за математика. Правя и други неща и затова ме радват по-лесни и красиви неща. Има задачи, в които е необходимо да можеш да събираш и умножаваш до 10 000 и нищо друго, а познавам бивши състезатели на национално ниво, които не могат да ги решат. Тежестта на използвания материал за решението й - не винаги определя сложността на една задача. Понякога външният вид много лъже.

"Тези, които са с класа по-добри няма как да ги прецакат" - това е хубаво изречение, но тук не съм много съгласен - трябва да са с много много класи по-добри, а едно дете на 18 много трудно ще владее само материал с такава дълбочина, колкото някой брадат асистент, дето понякога преписва от знайни и незнайни източници - 1/1 000 000 са такива. Четох една статия в сп. "Математика и информатика" за Балканиадата - 1997, ако не ме лъже паметта и пишеше как България и Румъния са се прецаквали на ниво избор на задачи - от това много се влияе класирането, та някое дете ли няма да се подлъже

Не искам от написаното от мен да се вади извод, че съм някакъв закостенял тип, мразещ новото, прогреса и развитието, но има и други особености освен тях. Нека не се преиначават нещата.

[drago]

Пич, ако не знаеш, най-добрите училища в България, за учене на математика са математическите гимназии- СМГ и НПМГ в София (СМГ е най-доброто) и ПМГ и МГ в страната. Това ли са училищата, където учат децата на богаташите ?! Да си чул например някой от американския колеж(където се дават луди пари) да е спечелил някакво състезание?
Другото няма да коментирам- прилича повече на една "теория на конспирацията".

[Гост]

Споменатите училища не искам да коментирам - братовчеда учеше в едно от тях - техните не са бедни хора изобщо. Нe искам коментирам конкретни хора и училища без да имам 120% потвърдени данни. Показателно е как всички мозъци в течение на десетилетия - може да се проследят класиранията по години на ном и имо са концентрирани в няколко училища. Макар и не основен фактор - икономиката си остава един от решаващите фактори. Относно теорията за конспирацията - представи си едно кофти твърдение - реалността ще го надмине. Поне при мен става много често така.

[Гост]

Според мен, много се отклоняваме от темата. Хората не са слепи - всеки може да види и прецени какво се случва, ако има и 3 капки мозък - и децата на 10 години го разбират. Предлагам да спрем с излишни коментари и да говорим по задачата.

[drago]

Проблемът със средношколската математика в момента, според мен, е че има само едно училище в България- СМГ- където що годе подготовката е на ниво. Във всички останали (с изключение на някои учители-бели лястовици, които се опитват да направят нещо) заниманията с нещо по-сериозно са тотално з..бани.
Е, не може една селекция от 200 човека да доведе до повече от 20-то място на IMO. Все пак 3/4 (или поне 2/3) от хората не живеят в София.
Да вземем едно дете- един математически талант- например в Пловдив. Кнадидатства и го приемат в ОМГ-то след 4-ти клас. Дотук всичко е чудесно. И вместо да го поемат и развият и в 7-8 клас да е подготвен за нещо по-сериозно, там малко се излиза извън СОУ,а олимпиадни тематики не се разглеждат въобще. Няма кой да се занимава. Има една частна институция- Академия 21 век, която се опитва да направи нещо, но нейното обучение спира до 7-ми клас, точно когато трябва да започне нещо по-сериозно.
И много ясно, че при такава подготовка засега няма как ученици от примерно от Пловдив да се класират на национално ниво и за IMO, не че няма таланти.

[ins-]

И аз съм го забелязал - децата вървят относително добре до 7-8 клас - после става шок и ужас. Качеството на средното образование изобщо не е добро, а университетите - те са си директно машини за пари повечето. Студентски град в София - там е пълна трагедия - по-бедните студенти, които са принудени да работят и са експлоатирани тотално за малки заплати, а по-имотните, доколкото могат да се нарекат така - не излизат извън кръчмите. В градчето е пълна мизерия - докато се разхождах видях 5-6 плъха колкото котка до 40 и някой си блок, заведение със 17 шота за 15 лв и други интересни картини . Всичко е претрупано от незнайно как изникнали магазини, кръчми и други сгради и от цялата история печелят в краткосрочен план малка група хора. Техните деца - най-вероятно учат извън България . Има и умни и амбициозни студенти, на тях не им е лесно, но с повече труд - биха могли да станат хора.

[inveidar]

Чудно ми е как в ОМГ - Пловдив няма сериозни преподаватели по математика! Та там бъка от супер добри ученици. Да давам примери с таз година завършилите е излишно. Всички ги познават. Интересното е, че те лично ми казаха, че техните учители не им се занимава сериозно. При нас положението е коренно противоположно! Имаме желание и възможности, но учениците се дърпат и обръщат всичко на майтап. Твърдя, че положението е такова при нас и в други малки и средни градове, защото нямаме избор. Кандидатстват след седми клас триста и няколко деца за триста места. Приблизително, но местата са повече от кандидатите. За какво става дума тогава? Идват в математическата деца, които са имали 3-ки до седми клас! Малкото добри, ако ги има понякога, се губят в масата, защото не може да се водят сериозни допълнителни занимания с 2-3 човека. Нямаме право в кръжоците да идват по-малко от 12 деца.
За студентите не съм съгласен. Аз имам комшийче, което завърши Английска гимназия и в момента е 4 курс студент. Работи и взима заплата над 2400 лева чисти пари. Мои бивши ученици взимат още повече. Който е съвестен и има потенциал се оправя, стига да не е много задръстен.
Колкото до олимпиадните задачи, склонен съм да подкрепя ИНС! Целта на тези състезания и олимпиади, според мен, би трябвало да не е първенецът да е наизустил колкото се може повече допълнителен материал(има си време и място за това) и да умее да го прилага що годе, а да се открие този, който най-добре може да прилага знанията си в конкретна нестандартна обстановка. Защо си мислиш, Драго, че няма страхотни, нетривиални задачи, свързани с училищната математика? По-скоро няма кой да ги открие и да ги даде на състезанията. Пак ще дам пример с руските състезания и олимпиади. Там много малко от задачите се решават с някакви допълнителни знания. Да не кажа, че почти няма такива.

[Гост]

За парите - не са малко за България, но за вложените усилия - със сигурност не са много. Получавал съм и аз такива цифри и малко по-високи.

[drago]

Казваш руски задачи. Да видим.
Да кажем това:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 2&t=440522
как мислиш дали се решава с някакви допълнителни знания? Не, само от СОУ!! Обаче, за да я решиш трябва да си преживявал такива неща,не точно същите, но това, което искам да кажа е, че трябва да имаш познания за изпъкналост, целочислени решетки, свойства, срещани прийоми, и ако един ученик не си разширява кръгозора, трудно би решил тази задача. Макар че няма някаква особена теория задачата е изключително трудна.
Между другото, зная как е съставена и това е много тъпо. Ако погледнеш коментарите ще видиш, че е взета ето тази статия: http://www.mathpropress.com/stan/biblio ... bounds.pdf , след което за да няма позоваване на друг по-тънък резултат е загрубена оценката. И вместо да напишат оценка от вида [tex]\text{const}.n^{3}[/tex], което би позволило и други подходи, нещата са заковани на много трудното [tex]\frac{1}{100}n^3[/tex]. Не ми харесва съставянето.

Ето още една: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 2&t=427899
Без да си се занимавал с графи повярвай ми е мисията невъзможна.

Тази: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 2&t=427853
наистина не изисква нещо друго освен принцип на Дирихле, но колкото повече такива неща е виждал човек, толкова по-бързо ще ги скомбинира.

Тази: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 1&t=426084
без да се знае теоремата на Хол за женитбите пак е mission imposible.

Още ли мислиш, че освен в учебниците не трябва да се поглежда настрани?

[inveidar]

Мисля, че ако видиш всички олимпиади в Русия - Всерусийска, СанкПетербургска и т.н много са, то едва ли ще намериш повече от една по-отвлечена задача на тема, като тези дето си пуснал.
Решение на задачата от Всерусийската олимпиада - 2003 година:

re6.pdf

(155.52 KiB) 154 пъти

[Гост]

Не спорете за глупости - и двамата сте прави - не си мерете кой е "по-по-прав".

[drago]

И защо си мислиш, че официалното решение, което си прикрепил, на тази всеруска олимпиада е по-лесно от моето: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 7#p2578517

[Гост]

Не че на учителите не им се занимава, просто нямат нужното ниво, че да са полезни на някого (ако става дума за олимпиади, турнири, боеве (не гладиаторски, че и такъв случай имаше миналата учебна година) и т.н.). За да могат да водят (адекватни) школи, първо трябва да станат по-добри от учениците си. А това към 10-ти клас и нататък (т.е. когато младите олимпийски надежди започнат 10-ти клас) граничи с невъзможността.

[inveidar]

Изобщо не е задължително учителят да е по-добър от учениците си в решаването на задачи, за да се водят адекватни школи. Това пък от къде го измисли? Да давам ли примери??? Колкото до решението на Всерусийската - не казвам, че е по-лесно, а просто публикувах авторското решение.

[inveidar]

Достатъчно е учителите да могат да поднесат необходимия материал с яснота, разбиране и да покажат възможните области на приложение. Другото е работа на ученика. Мислите ли какво щеше да стане, ако учителите си останат до край по-добри от учениците? В училището, в спорта и къде ли не още? Тогава нямаше да има никакъв прогрес, в нищо. И защо си мислите, че участниците в Международната Олимпиада по математика, първенците от националните състезания след 10 клас не са по-добри решавачи на задачи от всички до един от Комисията за извънкласна работа по математика? Става въпрос не за отделна област, а като цяло. И в това няма нищо лошо, разбира се. Това е НОРМАЛНО.

[inveidar]

Целите числа [tex]a,b,c[/tex] са такива, че числените стойности на квадратните тричлени [tex]bx^2+cx+a[/tex] и [tex]cx^2+ax+b[/tex] съвпадат при [tex]x=1234[/tex] . Може ли първият тричлен при [tex]x=1[/tex] да приема стойност 2009?

Задачата е от регионалния етап на Всерусийската олимпиада по математика през 2009 година - 11 клас(при тях последен), седма задача. Пускам я за да видите какви задачки дават там понякога. И си мисля, че в това няма нищо лошо.

[drago]

Не, не може a+b+c да е 2009.
Обаче не разбрах за каква поука ни е този пример- като много трудна задача върховръх на майсторството или просто като лесна и забавна.
И хората са различни- на теб може да ти харесва, на мен може да не.