Граница на редица

[Гост1]

Редицата [tex]\{x_n\}_{n\ge1}[/tex] е дефинирана чрез равенствата [tex]x_1=\sqrt{2}[/tex], [tex]x_{n+1}=\sqrt{\frac{2x_n}{1+x_n}}[/tex] за [tex]n\ge 1[/tex]. Да се намери границата [tex]\lim_{n\to \infty}x_1x_2\cdots x_n[/tex].

[drago]

Така, като гледам рекурентната зависимост много ми напомня на нещо тригонометрично, но не можах да се сетя в началото- явно съм забравил формулите.
Полагаме [tex]y_n = \frac{1}{x_n}[/tex]. Става:
[tex]y_{n+1} = \sqrt{\frac{1}{2}(1+y_{n})} \Rightarrow[/tex]

(1) [tex]2y_{n+1}^2 - 1 = y_n[/tex].

E сега няма как да не загрея.
Полагаме [tex]y_n = \cos \alpha_n[/tex]. От (1) следва [tex]\alpha_{n+1} = \frac{\alpha_{n}}{2}[/tex].
[tex]\alpha_1 = \frac{\pi}{4}[/tex]

[tex]y_1y_2\ldots y_n = \cos \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{8} \ldots \cos \frac{\pi}{2^{n+1}}[/tex]

Нататък трика с умножаването и делене на [tex]\sin \frac{\pi}{2^{n+1}}[/tex] и т.н. няма да продължавам ...

[Гост]

This made my day!