Сума на 2 числа

[ins-]

Нека [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex], [tex]d[/tex] са реални числа, такива, че: [tex]a+b+c+d=0[/tex] и [tex]a^3+b^3+c^3+d^3=0[/tex]. Да се докаже, че сумата на поне две от числата е равна на [tex]0[/tex].

[drago]

Хм..., Боби, ако ми кажеш, че и тази задача си я измислил самостоятелно, от фен ще ти стана върл фен
Иначе е много хубаво приложение на формулите на Нютон за връзката м/у сумата от степените на някакви променливи и симетричните полиноми на същите. Нека вместо [tex]a,b,c,d[/tex] използваме означенията [tex]x_1,x_2,x_3,x_4[/tex].
В нашия случай има връзка м/у [tex]\sigma_i(x_1,x_2,x_3,x_4)[/tex] и [tex]p_i(x_1,x_2,x_3,x_4),\, i=1,2,3,4[/tex].
вижте http://en.wikipedia.org/wiki/Newton's_identities като в тази препратка вместо [tex]\sigma_i[/tex] използват означението [tex]e_i[/tex].
Като използваме формулите на Нютон получаваме:
[tex]\sigma_1=\sigma_3=0[/tex]. Значи [tex]x_1,x_2,x_3,x_4[/tex] са корени на уравнението:

(1) [tex]x^4+\sigma_2 x^2 + \sigma_4 = 0[/tex].

Забележете, че трансформацията [tex]x\to -x[/tex] не променя стойността на [tex]\sigma_4=x_1x_2x_3x_4[/tex] и [tex]\sigma_2= \,\, \sum_{1\leq i < j \leq4} x_i x_j[/tex]. Значи [tex]-x_1,-x_2,-x_3,-x_4[/tex] удовлетворяват същото уравнение (1).

Значи [tex]\{x_1,x_2,x_3,x_4\}[/tex] и [tex]\{-x_1,-x_2,-x_3,-x_4\}[/tex] e едно и също множество и нататък е ясно, нали?

[ins-]

Задачата я измислих с помощта на един човек. Бях измислил една друга, по-красива, но се оказа, че няма реални числа, които да удовлетворяват равенствата и един човек го доказа. Доказателството много ми хареса и я благодарение на него се получи тази задача. Това й е историята. Красиво решение. Благодаря!

[inveidar]

Струва ми се доста позната.

[Гост]

Възможно е. Чудя се като сложност дали е еквивалентна на задачите от общински или от областен кръг на НОМ.
Задачата има и елементарно решение - без използване на споменатите полиноми.

[Гост1]

Друго решение. Ако изразим d чрез a, b и c от първото и заместим във второто, получаваме [tex](a^3+b^3+c^3-(a+b+c)^3)=0[/tex], като лявата част се разлага на [tex]-3(a+b)(b+c)(c+a)[/tex].

[Гост]

Явно не е много трудна. Има поне още едно възможно решение. Всяко едно от решенията е красиво по собствен начин.

[inveidar]

Друго решение. Ако изразим d чрез a, b и c от първото и заместим във второто, получаваме [tex](a^3+b^3+c^3-(a+b+c)^3)=0[/tex], като лявата част се разлага на [tex]-3(a+b)(b+c)(c+a)[/tex].

Точно така. Румънци ми показваха подобна задача преди 7-8 години.

[ins-]

Подобна или същата? И аз съм виждал сходни задачи. Задачата не е трудна и, според мен, не е точно за задача на седмицата, но ми хареса и по инерция я пуснах тук.

[drago]

Не ми хареса затова, че е трудна, а защото е много хубава илюстрация на следната идея:
Ако имаме информация за няколко полинома на Нютон(сума от степени на няколко променливи) то можем да извлечем информация за някои от симетричните полиноми на тези променливи, или някаква връзка между тях използвайки формулите на Нютон.
В този случай има и решение с директно заместване, но скоро гледах една задача с такава идея давана на ELMO и тя вече със сигурност не беше за общински кръг!