Граница

[pipi langstrump]

Не знам дали става за задача на седмицата, но я намерих в стария форум и реших да я пусна тука.

[tex]\lim_{n\to\infty }\, \frac{sin {\left(\pi \left(\frac{1+\sqrt{5} }{2} \right)^{6n+5}\right)}}{sin {\left(\pi\left(\frac{1+\sqrt{5} }{2} \right)^{6n+1}\right)}}[/tex]

[drago]

Основната идея е следната [tex](\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n}[/tex] става много близко до цяло число, т.е. [tex](\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n} + (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n}[/tex] е цяло, като това, което е най-важно е че [tex]-1 <\frac{1-\sqrt{5}}{2} <0[/tex].

Да означим за краткост [tex]\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2},\, \psi=\frac{1-\sqrt{5}}{2}[/tex]. Tъй като [tex]\phi, \psi[/tex] са корени на уравнението [tex]x^2=x+1[/tex] (златното сечение), имаме:
[tex]\phi^n=\phi^{n-1}+\phi^{n-2}[/tex]
[tex]\psi^n=\psi^{n-1}+\psi^{n-2}[/tex]
Като съберем горните и една индукция се вижда, че:
[tex]\phi^{n}+\psi^{n}= f_{n} \in \mathbb{N}[/tex] или:
(1) [tex]\phi^{n}= f_{n}-\psi^{n}, \, -1 < \psi <0[/tex] .
Сега трябва използваме (1)...

[pipi langstrump]

И аз така го направих, но трябва да докажем и че f_6n+5 и f_6n+1 са от една и съща четност. Нататък е ясно.

[drago]

Да, има такова нещо, но: [tex]f_1=1,f_2=3, f_{n+2}=f_{n+1}+f_{n}[/tex] и членовете на тази редица са:
[tex][1,3,4],[7,11,18],[29,47,...[/tex]
т.е. четността им е периодична с период [tex]3[/tex].

[drago]

Малко повече коментар около този проблем. В началото си помислих, че тази граница няма как да съществува, защото бях срещал, че ако [tex]q>1[/tex], то [tex]\{q^n\}[/tex] e равномерно разпределена в интервала [tex][0,1)[/tex], където [tex]\{x\}[/tex] означава дробната част на [tex]x[/tex]. И това е вярно за почти всяко [tex]q[/tex]. Нещо подобно на теоремата на Кронекер, но за произведение вместо сбор. В този случай всяка точка от [tex][-1,1][/tex] би била точка на сгъстяване на числителя и знаменателя и почти не би имало шанс тази граница да съществува.
По този повод може да видите тук: http://mathworld.wolfram.com/PowerFractionalParts.html
Както се оказва намирането на всички [tex]q[/tex] , за които това е вярно е все още отворен проблем, но там е споменато, че златното сечение([tex]q=\phi[/tex]) e едно от изключенията. В този случай е най-логично да предположим, че [tex]\{\phi^{n}\}[/tex] клони към [tex]0[/tex] (макар че това не е вярно-тази редица има две точки на сгъстяване, 0 и 1) и най-естествения начин да докажем това е да съберем [tex]\phi^{n}[/tex] с някакво малко число и да получим цяло число. Какъв по хубав кандидат от това малко число от спрегнатото на [tex]\phi[/tex] на степен [tex]n[/tex] !

[pipi langstrump]

Интересен материал.
Аз се "сетих", че [tex]\varphi^n[/tex] има много нули след запетайката (за нечетно n) с калкулатора, после беше близко до ума, че трябва да се намери дробната част, но едва след като видях една друга задача в стария форум, дето трябва да се докаже, че [tex](6-\sqrt{37})^n[/tex] има не знам колко нули след запетайката, ми простветна какво трябва да се прави

[Гост]

Бихте ли написали решението?

[drago]

A ти можеш ли да продължиш, като следваш първия ми пост и да питаш конкретно откъде нататък се затрудняваш?

[Гост]

как точно използваме (1)