Зависимости в четириъгълник

[ins-]

В изпъкналия четириъгълник [tex]ABCD[/tex] с [tex]E[/tex] и [tex]F[/tex] са означени пресечните точки на [tex]AB[/tex] с [tex]CD[/tex] и [tex]AD[/tex] с [tex]BC.[/tex] [tex]P[/tex] е пресечната точка на диагоналите. Права през [tex]P[/tex] пресича [tex]EF[/tex] в т. [tex]P'[/tex]. [tex]A'[/tex], [tex]B'[/tex], [tex]C'[/tex], [tex]D'[/tex] са пресечните точки на правите през върховете на [tex]ABCD[/tex], успоредни на [tex]PP'[/tex], с [tex]EF[/tex]. Да се докаже, че:
a) [tex]\frac{1}{AA'}+\frac{1}{CC'}=\frac{1}{BB'}+\frac{1}{DD'}[/tex];
b) [tex]\frac{1}{AA'}+\frac{1}{BB'}+\frac{1}{CC'}+\frac{1}{DD'}=\frac{4}{PP'}[/tex].

[georgi111]

Ето го моето доказателство на а). Даденото равенство което трябва да докажем е еквивалентно последователно на :[tex]\frac {AA' + CC'}{BB'+DD'}=\frac {AA'.CC'}{BB'.DD'}= \frac {AE}{BE}.\frac{CE}{DE}(*)[/tex](последното следва от подобните двойки триъгълници [tex]DED',CEC'[/tex] и [tex]AEA',BEB'[/tex]). Отново от съответните 2ки триъгълници имаме : [tex]AA'=DD'.\frac {FA}{FD}, CC'=DD'\frac {EC}{ED}, \frac {BB'}{AA'}=\frac {BE}{AE}, \frac {AA'}{DD'}=\frac {FA}{FD}[/tex]. От последите 2 във верижката имаме [tex]BB'=DD'\frac {BE.FA}{AE.FD}[/tex]. Заместваме последователно [tex]AA',BB',CC'[/tex] във [tex](*)[/tex] и получаваме : [tex]\frac {FA.ED + EC.FD}{BE.FA + AE.FD} . \frac {AE}{ED} = \frac {AE}{ED}.\frac {CE}{BE}[/tex].След опростяване на горното равенство получаваме, че [tex]FA.BE.CD=FD.CE.AB[/tex] или записано по друг начин а да докажем а) е еквивалентно да докажем че: [tex]\frac {AB}{BE}.\frac {EC}{CD}.\frac{DF}{FA}=1[/tex], което не е нищо повече от теоремата на Минелай приложена за триъгълник [tex]ABF[/tex] и правата [tex](DCE)[/tex]. С това доказателството на а) е завършено.

[georgi111]

За б) може да се ползва "техниката" от а) и е достатъчно да се докаже че [tex]\frac {1}{AA'} + \frac {1}{CC'} = \frac {2}{PP'}[/tex] например ...

[georgi111]

Да отговарям ли на въпросите:
1) трудност - ЗМС 9ти клас средно лесна геометрия
2) красота, изящество - доста добра задачка
3) срещал ли съм я - не

[ins-]

Като никога - имам решение на тази задача, но е тотално различно и много дълго, затова реших да не го пиша. Разликата е, че се ползват лица и подобия и е само с материал за СОУ.
Благодаря за красивото и елегантно решение! Въпросът с трудността - за всеки е различен. Ако имаш опит с подобни неща и видиш кратък начин сигурно е елементарна задачата, но ако не видиш - става по-сложно.

[georgi111]

Важното е че е много красива Какво като някой оределя нещо като еди какво си ниво Че то и на ЗМС има доста по красиви задачки понякога от НОМ ...