Три точки на една права

[ins-]

Четириъгълник [tex]ABCD[/tex] с пресечна точка на диагоналите [tex]P[/tex] е вписан в окръжност [tex]k[/tex]. [tex]E[/tex] е пресечната точка на [tex]AB[/tex] и [tex]CD[/tex]. [tex]F[/tex] е пресечната точка на [tex]AD[/tex] и [tex]BC[/tex]. [tex]k_1[/tex] е описаната около триъгълник [tex]AEF[/tex] окръжност, [tex]k_2[/tex] е описаната около триъгълник [tex]CEF[/tex] окръжност. [tex]M[/tex] е пресечната точка, на [tex]k[/tex] и [tex]k_1[/tex], а [tex]N[/tex] е пресечната точка на [tex]k[/tex] и [tex]k_2[/tex]. Да се докаже, че [tex]M[/tex], [tex]N[/tex] и [tex]P[/tex] лежат на една права.

[georgi111]

Много интересна задачка предполагаща красиво решение на тема радикални оси, вписани четириъгълници и подобия

[georgi111]

Ако не бъркам сметките които уморен правих късно снощи излиза че радикалните оси на [tex]k,k_1(AM), k,k_2(CN'), k_1,k_2(EF)[/tex] са успоредни !! (От теоремата за радикални оси следва, че или се пресичат в една точка или са успоредни)

[georgi111]

Ето го и решението на тази красива задача.Ще докажем, че рисунките от кейс 1 картинката са невъзможни. Без ограничение на общността да предположим, че е в сила ситуацията от лявата картинка а именно [tex]AB[/tex] е в лявата полуравнина("вляво") спрямо [tex]BD[/tex]. От теоремата за радикални оси имаме, че радикалните оси на [tex](k,k_1)=AM, (k,k_2)=CN, (k_1,k_2)=EF[/tex] се пресичат в една точка или са успоредни. Да допуснем че се пресичат както е на чертежа вляво в точката [tex]X[/tex]. Въвеждаме следните означения :[tex]\angle FDC=\angle ADC = \alpha, \angle DFE = \angle DFX = \beta[/tex]. Нека освен това [tex]NA \cap k_2 = F', F'E \cap XN = T[/tex]. Тогава от съответните вписани четириъгълници имаме :[tex]\angle NF'E = \angle AF'E = \angle AFE = \angle EMX = \angle ECX = \beta[/tex] ([tex]AFF'E[/tex]-вписан в [tex]k_1[/tex], [tex]AF'EM[/tex]-вписан в [tex]k_1[/tex], [tex]NCEF'[/tex]-вписан в [tex]k_2[/tex]). Аналочино установяваме, че [tex]\angle CAX = \alpha[/tex] ([tex]DABM[/tex] - вписан в [tex]k[/tex]). Но от [tex]\angle EMX = \angle ECX = \beta[/tex] следва, че [tex]EMCX[/tex]-вписан в окръжност , откъдето имаме [tex]\angle CAX=\angle CEX = \alpha[/tex], но от [tex]F'ECN[/tex] - вписан в [tex]k_2[/tex] имаме че [tex]\angle CET = \alpha = \angle CEX[/tex]. От последните 2 следва, че [tex]T \equiv X[/tex], с други думи [tex]\angle ADE = \alpha = \angle DEX[/tex], откъдето следва, че [tex]AD, AX[/tex] са успоредни което е невъзможно.

[georgi111]

Установихме, че [tex]EF || CN ||AM[/tex]. Тогава [tex]AMCN, FECN, FEMA[/tex] са равнобедрени трапеци. Очевидно че [tex]M,P,N[/tex] лежат на една права с което доказателството е завършено.

[georgi111]

За жалост съм допуснал грешка в случай 1 в следния пункт [tex]\angle AF'E = \angle AFE[/tex](от различни окръжности са и не са равни). Разсъждението в случай 1 е малко по различно

[ins-]

Нищо, ще я коригираш. Решенията ти са винаги много красиви и ефектни.

[svetoslav80]

@georgi111 , Тоя чертеж на пейнт ли го прави? Направо кърти мивки , другия път може да ползваш софтуер за чертане от типа на geogebra, по-лесно е.

[Гост]

по-добре е да са шарени чертежите и изпипани, но малко хора могат да измислят решения, като на Георги.