Вписани окръжности

[ins-]

Външно-вписаните окръжности около триъгълник са [tex]k_1(I_1, r_1)[/tex], [tex]k_2(I_2, r_2)[/tex], [tex]k_3(I_3, r_3)[/tex]. Да се изрази радиусът на вписаната в триъгълник [tex]I_1I_2I_2[/tex] окръжност чрез [tex]r_1[/tex], [tex]r_2[/tex], [tex]r_3[/tex].

[Гост]

И това е известна задача...искате ли да ви напиша хубави нетрадиционни задачи, които обаче нито insaner(invader), нито ganka (малайзия) могат да решават?

[Гост]

Давай пич... Всяка трудна задача е предизвикателство

[ganka simeonova]

И това е известна задача...искате ли да ви напиша хубави нетрадиционни задачи, които обаче нито insaner(invader), нито ganka (малайзия) могат да решават?

Нали не си мислиш, че някой е по-голям от хляба, включително и ти? Разбира се, че има задачи, които не мога да реша!

[Гост]

Това сигурно е съобщение на някой бот ...

[ganka simeonova]

Ще ползваме следните неща:
1)[tex]r_ar_b+r_br_c+r_cr_a=p^2[/tex] Доказва се лесно:
[tex]S=r_a(p-a)=r_b(p-b)=r_c(p-c)=>r_ar_b+r_br_c+r_cr_a=S^2\frac{p}{(p-a)(p-b)(p-c) } =p^2[/tex]
2)[tex]\Delta CKI_c=>cotg{\frac{\gamma }{2} } =\frac{KI_c}{KC } =\frac{r_c}{ p} =>cos{\frac{\gamma }{2} }=\frac{r_c}{ \sqrt{r_c^2+p^2} }[/tex] Аналогично:
[tex]cos{\frac{\alpha }{2} }=\frac{r_a}{ \sqrt{r_a^2+p^2} }; cos{\frac{\beta }{2} }=\frac{r_b}{ \sqrt{r_b^2+p^2} }[/tex]
3)Радиусът на описаната окръжност около [tex]\Delta I_aI_bI_c[/tex] е равен на [tex]2R[/tex]- теорема на Беван. Доказателството го има в стария форум. Прилагаме синусова теорема за този триъгълник и получаваме:
[tex]I_aI_b=4Rcos{\frac{\gamma }{2} }; I__aI_c=4Rcos{\frac{\beta }{2} }; I_cI_b=4Rcos{\frac{\alpha }{2} }[/tex]=>
[tex]p_{I_aI_bI_c}=2R(cos{\frac{\gamma }{2} }+cos{\frac{\beta }{2} }+cos{\frac{\alpha }{2} })[/tex]
4)[tex]I_aI_b.I_bI_c.I_aI_c=64R^3cos{\frac{\gamma }{2} }cos{\frac{\beta }{2} }cos{\frac{\alpha }{2} }=64R^3.\frac{p}{ 4R} =16R^2p[/tex]=>
5)[tex]S_{I_aI_bI_c}=\frac{16R^2p}{ 8R} =2Rp[/tex]=>
6)[tex]r_{I_AI_bI_c}=\frac{2Rp}{2R(cos{\frac{\gamma }{2} }+cos{\frac{\beta }{2} }+cos{\frac{\alpha }{2} }) } =\frac{p}{(cos{\frac{\gamma }{2} }+cos{\frac{\beta }{2} }+cos{\frac{\alpha }{2} }) }=[/tex]

[tex]\frac{\sqrt{r_ar_b+r_br_c+r_cr_a} }{\frac{r_a}{ \sqrt{r_a^2+r_ar_b+r_br_c+r_cr_a} }+\frac{r_b}{ \sqrt{r_b^2+r_ar_b+r_br_c+r_cr_a} } +\frac{r_c}{ \sqrt{r_c^2+r_ar_b+r_br_c+r_cr_a} }}[/tex]

[ins-]

Много красиво решение - моята идея беше същата - имах "суров отговор", но нямах силата, системността и волята да го напиша до край. Дано да е станала добра задачка.

[ganka simeonova]

Вчера инс ми каза и един любопитен факт, който не знаех, по-скоро не съм се замисляла. Ако M, N, F са допирните точки на вписаната в триъгълник АВС окръжност към страните му, то
[tex]S_{IaIbIc}. S_{MNF}=S^2_{ABC}[/tex]- доказателството е много лесно:)
Задачата ми хареса, защото докато я решавах, си и изясних и научих доста неща.

[Гост]

viewtopic.php?f=49&t=10150
Лицата на [tex]MNP[/tex] от едната задача и [tex]A"B"C"[/tex] от другата задача са равни. Има още начини да се докаже.