Редица

[math10.com]

Дадена е редицата :[tex]a_1=8 , a_2=20 , a_{n+2}=a_{n+1}^2+12a_{n+1}.a_n+11a_n , n\ge 1[/tex]
Да се докаже ,че никой член на тази редица не може да се представи като сума на три седми степени.

[georgi111]

Много приятна и красива задачка.Ето го моето решение.По индукция лесно се установяват следните сравнения:
1) [tex]a_{n} \equiv 0 (mod 8), a_{n} \neq 0 (mod 16)[/tex] ([tex]n[/tex]-нечетно)
2) [tex]a_{n} \equiv 4 (mod 8)[/tex] ([tex]n[/tex]-четно). Доказателството е просто:
1)[tex]n[/tex]-нечетно. Базата на индукцията е очевидна.Тогава [tex]n+2[/tex]-нечетно, [tex]n+1[/tex]-четно и от индукционното допускане(а именно: [tex]a_{n+1} \equiv 4 (mod 8), a_{n} \equiv 0 (mod 8), a_{n} \neq 0 (mod 16)[/tex]) имаме: [tex]a_{n+2} \equiv 4^2 + 12.4.0 + 11.0 \equiv 0 (mod 8), a_{n+2} \equiv 11a_n \neq 0 (mod 16)[/tex]
2)[tex]n[/tex]-четно. Базата на индукцията е очевидна.Тогава [tex]n+2[/tex]-четно, [tex]n+1[/tex]-нечетно и от индукционното допускане(а именно: [tex]a_{n+1} \equiv 0 (mod 8), a_{n+1} \neq 0 (mod 16), a_{n} \equiv 4 (mod 8)[/tex]) имаме: [tex]a_{n+2} \equiv 0^2 + 12.4.0 + 11.4 \equiv 4 (mod 8), a_{n+2} \equiv 11a_{n+1} \neq 0 (mod 16)[/tex].
Нека сега допуснем, че съществува член на тази редица който е сума на три седми степени на естествени числа. Това означава, че има индекс [tex]l[/tex] и естествени числа [tex]x,y,z[/tex], такива че [tex]a_l=x^7 + y^7 + z^7[/tex]. Отново са възможни 2 случая:
1 случай) [tex]l[/tex]- четно. От доказаното по горе имаме : [tex]x^7 + y^7 + z^7 \equiv 4 (mod 8)[/tex], откъдето следва, че [tex]x^7 + y^7 + z^7[/tex] е четно число. Това е възможно или ако всичките 3 числа са четни или ако 2 са четни 1 нечетно. Във всеки от тези 2 случая сравнението [tex]x^7 + y^7 + z^7 \equiv 4 (mod 8)[/tex] е невъзможно.
2 случай) [tex]l[/tex]- нечетно. От доказаното по горе имаме : [tex]x^7 + y^7 + z^7 \equiv 0 (mod 8), x^7 + y^7 + z^7 \neq 0 (mod 16)[/tex], откъдето следва, че [tex]x^7 + y^7 + z^7[/tex] е четно число. Това сравнение е възможно само ако всичките 3 числа са четни. Но тогава следва, че [tex]x^7 + y^7 + z^7 \equiv 0 (mod 16)[/tex], което е противоречие.
С това задачата е решена.

[drago]

...
1 случай) [tex]l[/tex]- четно. От доказаното по горе имаме : [tex]x^7 + y^7 + z^7 \equiv 4 (mod 8)[/tex], откъдето следва, че [tex]x^7 + y^7 + z^7[/tex] е четно число. Това е възможно или ако всичките 3 числа са четни или ако 2 са четни 1 нечетно. Във всеки от тези 2 случая сравнението [tex]x^7 + y^7 + z^7 \equiv 4 (mod 8)[/tex] е невъзможно.
....

[tex]1^7+3^7+4^7 \equiv 4 \pmod{8}[/tex] !?

[georgi111]

Да да ... Абсолютно вярна забележка. То и за 2рия случай има контрапример, че не само в случая на 3 четни:[tex]x \equiv 1 (mod 8), y \equiv -1 (mod 8), z \equiv 0 (mod 8), x^7 + y^7 + z^7 \equiv 0 (mod 8)[/tex]... Очевидно само с усилия в обедната почивка не излиза толкова лесно Трябва да се помисли повечко