Правилен петоъгълник

[Рефи]

От т. О, вътрешна за правилния петоъгълник ABCDE, са построени перпендикулярите OK, OL, OM, ON, OP и OL съответно към страните AB, BC, CD, DE и EA. Докажете, че сумата OK+OL+OM+ON+OP+OL не зависи от положението но т. О. Ще се промени ли твърдението, ако се разглежда правилен n-ъгълник?

[ins-]

Съедини точката с върховете на многоъгълника. Сумата от лицата на получените триъгълници е равна на лицето му.
И за n ъгълник не се променя. Задачата е прекалено лесна за този раздел.

[monika_at]

При фиксирана страна х, лицето на петоъгълника S също е фиксирано. То е равно на сумата от лицата на оцветените триъгълници, всеки от които има страна х и височина към нея - съответен перпендикуляр. Тогава:

[tex]S=\frac{a+b+c+d+e}{2 }.x[/tex]. От това, че х и S са константи следва, че сумата [tex]a+b+c+d+e[/tex] също е такава, т.е. не зависи от положението на т.О.
Същите разсъждения се отнасят за произволен правилен n-ъгълник.

[Рефи]

Много ви благодаря за помощта!