Неравенство

[ins-]

Нека [tex]a[/tex],[tex]b[/tex],[tex]c[/tex] са реални положителни числа и [tex]abc=1[/tex]. Да се докаже, че: [tex](\frac{a}{1+ab})^2+(\frac{b}{1+bc})^2+(\frac{c}{1+ca})^2\geq \frac{3}{4}[/tex].

[ins-]

Скрит текст: покажи

Задачата е малко лесна за тук и не е моя, но ми хареса и затова я пускам.

[inveidar]

Е кое и е лесното за тук на тази задача?! 99% от участниците в този форум не могат да я решат цял живот. Айде малко да слезем на земята. Това, че ти си разбрал решението, не прави задачата лесна. Би трябвало да е лесна за участниците ни в Международната олимпиада и победителите от нашите състезания по математика, но не и за другите.

[ins-]

http://www.imomath.com/othercomp/Bul/BulMO497.pdf - задача 4 от тук е по-трудна. Написах, че е лесна, защото е от перуански форум. Там, човека, който е предложил задачата в ЛС ми каза, че пуска само лесни задачи и затова не пусна 2, предложени от мен. Значи нивото на образованието доста е паднало, а е истина, че задачата не е от най-лесните.

[inveidar]

И аз го знам този форум. Защо реши, че в Перу нивото е паднало? Напротив, качва се. Не случайно са по-напред от нас на Международната. А и критериите на този господин Израел Диас явно са доста високи. Задчата никак не е лесна. Друг е въпросът, че такива задачи от неравенства има много и олимпийците би трябвало да ги знаят. Но те са малко в този форум.

[drago]

...Но те са малко в този форум.

За съжаление е така!

[ins-]

Реших, че не в Перу, а в България нивото е паднало и то много от страна в топ 10 много години подред сме стигнали латиноамерикански страни да са преди нас. Направи ми впечатление, че подхода на тези хора и тук към образованието е много различен. Те са задружни и амбициозни, гледат напред и се развиват, докато в България малко е апатия и перманентен песимизъм.

[math10.com]

Първо ще докажем 2 помощни неравенства:

Неравенство 1 :[tex]x^2+y^2+z^2\ge xy+xz+yz[/tex] умножаваме с 2 и прехвърляме всичко от ляво

[tex]2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz\ge 0[/tex]

[tex](x-y)^2+(x-z)^2+(y-z)^2 \ge 0[/tex] което е вярно за всеки [tex]x,y,z\in R[/tex]

Неравенство 2:[tex]x+\frac{1}{x}\ge 2 ; x>0[/tex]

[tex]x-2\sqrt{x}.\sqrt{\frac{1}{x}}+\frac{1}{x}\ge 0[/tex]

[tex](\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}})^2\ge 0[/tex] което е вярно за всяко [tex]x>0[/tex]

Сега към задачата:

[tex](\frac{a}{1+ab}).(\frac{b}{1+bc})+(\frac{a}{1+ab}).(\frac{c}{1+ca})+(\frac{b}{1+bc}).(\frac{c}{1+ca})=[/tex]

[tex]\frac{ab(1+ac)+ac(1+bc)+bc(1+ab)}{(1+ab)(1+ac)(1+bc)}=[/tex]

[tex]\frac{ab+ac+bc+abc(a+b+c)}{1+ab+ac+bc+abc(a+b+c)+(abc)^2}=[/tex]

[tex]\frac{ab+ac+bc+a+b+c}{2+ab+ac+bc+a+b+c}=[/tex]

[tex]\frac{ab+ac+bc+a+b+c+2-2}{2+ab+ac+bc+a+b+c}=[/tex]

[tex]1-\frac{2}{2+ab+ac+bc+a+b+c}=[/tex]

[tex]1-\frac{2}{2+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+a+b+c}\ge 1-\frac{2}{2+2+2+2}=\frac{3}{4}[/tex] (следва от Неравенство 2)

И сега от Неравенство 1 следва [tex](\frac{a}{1+ab})^2+(\frac{b}{1+bc})^2+(\frac{c}{1+ca})^2\ge(\frac{a}{1+ab}).(\frac{b}{1+bc})+(\frac{a}{1+ab}).(\frac{c}{1+ca})+(\frac{b}{1+bc}).(\frac{c}{1+ca}) \ge \frac{3}{4}[/tex]

[math10.com]

Да,Сред регистрираните потребители личат имена на олимпийци, но за съжаление те отдавна не пишат във форума.Интересът на участниците е спаднал в сравнение с предходните години.Вече не се намират ентусиасти да се пробват със състезателните задачи.И както в пазарната икономика ,когато няма търсене на интересни задачи, намалява и предлагането.Тенденцията е че математиката в България умира.

[ins-]

Дано нагласата на хората скоро да се промени, защото математиката е много красива наука и развива абстрактната мисъл и въображението. Това, с което аз лично мога да помогна е да измисля интересни задачи и да издиря и популяризирам красиви и нестандартни задачи.