Свойство на ортоцентъра

[ins-]

През ортоцентъра [tex]H[/tex] на остроъгълния триъгълник [tex]ABC[/tex] са прекарани две взаимно перпендикулярни прави - [tex]i[/tex] и [tex]j[/tex]. Правите [tex]AC[/tex] и [tex]BC[/tex] се пресичат с [tex]i[/tex] в точки [tex]A_1[/tex] и [tex]B_1[/tex], а с [tex]j[/tex] в точки [tex]A_2[/tex] и [tex]B_2[/tex]. Да се докаже, че средите на [tex]AB[/tex], [tex]A_1B_1[/tex] и [tex]A_2B_2[/tex] лежат на една права.

Скрит текст: покажи

Твърдението е откривано преди мен, но го забелязах самостоятелно. Новогодишен подарък за потребителите на форума.

[teoira]

Ако средите на [tex]AB, A_1B_1, A_2B_2[/tex] са съответно [tex]M, N, P[/tex],
имаме

[tex]\vec{MN}=\frac{1}{2}(\vec{AA_1}+ \vec{BB_1})[/tex],

[tex]\vec{MP}=\frac{1}{2}(\vec{AA_2}+ \vec{BB_2})[/tex].


Лесно се забелязват две двойки подобни триъгълници

[tex]AA_1H\sim BB_2H\Rightarrow AA_1.BB_2=AH.BH[/tex],

[tex]AA_2H\sim BB_1H\Rightarrow AA_2.BB_1=AH.BH[/tex],

откъдето [tex]\frac{AA_1}{AA_2}=\frac{BB_1}{BB_2}[/tex]. Оттук и от горните векторни равенства следва колинеарността на средите.

[ins-]

Благодаря за ценната идея. Предложеното решение е вероятно най-краткото възможно. Задачата би могла да се реши по поне 3-4 начина (подобно на теоремите на Гаус на Дроз-Фарни). Ще ми е интересно да видя доказателство, подобно на това: http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200426.pdf (синтетично доказателство на теоремата на Дроз-Фарни), както и още идеи.

[georgi111]

Бате Боби осещам някаква несигурност в теб като си прочел решението на човека Може би се чудим защо са подобни въпросните триъгълници. Само е объркал малко буквите но инак са подобни наистина това не му е пречка. За да не бъдем голословни нека да го поразпишем какво е имал наум решаващия Ако означим ъгъла между [tex]j[/tex] и височината през [tex]C[/tex] с [tex]x[/tex], тогава имаме последователно (според зависи как са "врътнати" правите спрямо ортоцентъра) : [tex]\angle AHA_1=|90-\angle B-x|=\angle BB_2H, \angle HAA_1=\angle HBB_2 = 90 \mp \angle C[/tex], откъдето следва подобието на [tex]AA_1H \sim BHB_2[/tex]. Аналогично имаме : [tex]\angle AHA_2=1800-\angle B-x=\angle BB_1H, \angle HAA_2=\angle HBB_1 = 90 \mp \angle C[/tex] , откъдето следва подобието на [tex]AA_2H \sim BHB_1[/tex]

[ins-]

http://www.cut-the-knot.org/m/Geometry/ ... ints.shtml след като пуснах задачата в друг форум - хората са се вдъхновили и са пуснали друго решение.