Вдъхновена от задача на inveidar

[ins-]

B остроъгълния триъгълник [tex]ABC[/tex] [tex]k_1[/tex] и [tex]k_2[/tex] са вписаната и описаната окръжности. Пресечните точки на [tex]k_1[/tex] с височината през [tex]C[/tex] са [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex]. [tex]T[/tex] е допирната точка на [tex]k_1[/tex] с [tex]AB[/tex]. [tex]Q[/tex] - средата на [tex]\overset{\frown}{AB}[/tex] от [tex]k_2[/tex] (, несъдържаща [tex]C[/tex]). [tex]P[/tex] е средата на отсечката [tex]MN[/tex]. Да се докаже, че [tex]P[/tex], [tex]Q[/tex] и [tex]T[/tex] лежат на една права.

Скрит текст: покажи

Честита Нова 2014 Година! С пожелания за много успехи на всички. Това е първото твърдение, което (пре)открих тази година.

[georgi111]

А ето и моето първо решение за тази година на задачата на Боби, която е вдъхновена от господин Стоянов На чертежа който са направили едни перуански братя добри познати на бате Боби и на който съм взел да рисувам набързо някакви неща лесно се виждат следните неща :
1) центъра на вписаната окръжност [tex]I[/tex] лежи на [tex]CM[/tex]
2) [tex]HNIT[/tex] - правоъгълник
Нека средата на [tex]AB[/tex] е [tex]M_1[/tex] и нека без ограничение допуснем, че [tex]AC < BC[/tex]. Ще използваме също стандартните означения за елементите на триъгълника. Тогава е ясно, че за да докажем исканата колинеарност е достатъчно да докажем, че триъгълниците [tex]HTN, M_1TM[/tex] са подобни, за което е достатъчно да докажем пропорцията [tex]\frac {HT}{HN} = \frac {TM_1}{MM_1}[/tex]. Понеже имаме :
1) [tex]HT= \frac {(a-b)(p-c)}{c}[/tex] (това лесно следва както го доказа и госпожа Ганка по известна като Моника )
2) [tex]TM_1 = \frac {a-b}{2}[/tex]
3) [tex]MM_1=\frac {c.tg (C/2)}{2}[/tex]
горното което трябва да докажем се преобразува до :
[tex]\frac {HT}{HN} = \frac {TM_1}{MM_1} \leftrightarrow \frac {(a-b)(p-c)}{rc} = \frac {a-b}{c.tg(C/2)} \leftrightarrow tg(C/2)=\frac {r}{p-c}[/tex], което е очевидно вярно. С това задачата е решена.

[monika_at]

Буквичките от условието на Боби и чертежа се разминават, но иначе добро решение

[ins-]

Благодаря за решението. Много добро! Това е една от задачите, които (пре)открих, допускаща най-много решения. До тук знам 5-6.

[drago]

...(това лесно следва както го доказа и госпожа Ганка по известна като Моника )
...

Така ли!? А защо трябваше да си сменя ник-а ?!!! Не разбирам.

[inveidar]

Хванало я е срам, че има толкова много постове!

[math10.com]

Хванало я е срам, че има толкова много постове!

Ами то си беше за срам.Тя писала, писала ...... .Шегувам се разбира се.
Не е важно, с какво име се представяме, даже не е чак толкова важно и дали се включваме удачно в темите.По важно е желанието да се занимаваме с математика и да помагаме, когато има възможност.
Пожелавам успешна и ползотворна 2014 година ,на всички бивши , настоящи и бъдещи участници във форума и нека красотата и стила да бъдат водещи ,а дразгите и конфликтите да останат забравени в миналото.

[monika_at]

Хванало я е срам, че има толкова много постове!

Емо, аз отдавна съм се кротнала. Даже би казала, че напоследък мисля само по твоите задачи
Не можеш да се оплачеш