Ортоцентър - 2

[inveidar]

zad4.png (341.37 KiB) Прегледано 555 пъти

[math10.com]

Тази е по-лесна от предишната
Моето решение ще пусна след някой ден , та да може да е интересно на останалите.

[monika_at]

Пo-лека е. [tex]CH \cap AB=D; BH\cap AC=K[/tex] Построяваме CL, така че СН да е ъглополовяща на[tex]\angle AC L \in AB =>HLBC[/tex]вписан=>
[tex]\angle HCL=\angle HBL[/tex]=>[tex]\Delta AHC; \Delta HCL[/tex]-еднакви=>[tex]CH\bot AL[/tex]=>
[tex]\angle ADC=90^\circ=\angle CAD+\angle ACD=><BKA=90^\circ[/tex]

[math10.com]

ortocentar2.png (25.18 KiB) Прегледано 528 пъти

Аз пък ще променя малко стила от предходното решение.Важно е да има варианти и разнообразие в решенията

Нека [tex]k_1,k_2,k_3[/tex] са окръжностите описани съответно около [tex]\triangle AHC,\triangle BHC,\triangle AHB[/tex][tex]\angle HAC=\angle HBC=\alpha[/tex] по условие следователно радиусите на [tex]k_1[/tex] и [tex]k_2[/tex] са равни
[tex]\angle ACH=\angle ABH=\beta[/tex] по условие следователно радиусите на [tex]k_1[/tex] и [tex]k_3[/tex] са равни
[tex]\Right k_1,k_2,k_3[/tex] имат равни радиуси.
[tex]\Right \angle HAB=\angle HAC=\gamma[/tex](И за 3-те твърдения използваме ,че ако на хорди с еднакви дължини от различни окръжности съответстват равни ъгли ,то радиусите на тези окръжности са равни)
[tex]\Right \angle ACH+\angle BCH+\angle ABH+\angle CBH+\angle CAH+\angle BAH=\beta +\gamma +\beta +\alpha+\gamma +\alpha=2(\alpha+\beta +\gamma )=180^\circ ,\Right \alpha+\beta +\gamma=90^\circ[/tex]
Нека [tex]AD||CH , \Right \angle DAC=\angle ACH=\beta[/tex] като кръстни.
[tex]\Right \angle DAB=\angle DAC+\angle CAH + \angle HAB= \alpha+\beta +\gamma=90^\circ , \Right CH\bot AB[/tex]
Аналогично [tex]AH\bot BC , BH\bot AC[/tex]
Следователно [tex]H[/tex] е ортоцентър

[inveidar]

Пo-лека е. [tex]CH \cap AB=D; BH\cap AC=K[/tex] Построяваме CL, така че СН да е ъглополовяща на[tex]\angle AC L \in AB =>HLBC[/tex]вписан=>
[tex]\angle HCL=\angle HBL[/tex]=>[tex]\Delta AHC; \Delta HCL[/tex]-еднакви=>[tex]CH\bot AL[/tex]=>
[tex]\angle ADC=90^\circ=\angle CAD+\angle ACD=><BKA=90^\circ[/tex]

Нещо в края не ми е много ясно. Може ли по-подробно?