Права през O (известна задача)

[ins-]

През центъра на описаната около триъгълник [tex]ABC[/tex] окръжност - [tex]O[/tex] е прекарана права, пресичаща страните [tex]BC[/tex] и [tex]CA[/tex] в точките [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex]. [tex]R[/tex] и [tex]S[/tex] са средите на отсечките [tex]AM[/tex] и [tex]BN[/tex]. Да се докаже, че [tex]\angle{ROS}=\angle{ACB}[/tex].

[kucheto]

Предполагам, че трябва [tex]\angle ACB[/tex] да е остър, тъй като в противен случай права през [tex]O[/tex] не може да пресича и двете страни [tex]AC[/tex] и [tex]BC[/tex] във вътрешни точки. Иначе, ако няма това изискване, са възможни и случаи, в които [tex]\angle ROS=180^{\circ}-\angle ACB[/tex], като в процеса на доказателство ще видим от какво зависи стойността на [tex]\angle ROS.[/tex]

Нека [tex]k[/tex] е описаната около [tex]\triangle ABC[/tex] окръжност, [tex]AA_1,\ BB_1,\ CC_1[/tex] са диаметри в нея, [tex]K=A_1M\cap k,\ N'=B_1K\cap AC.[/tex] От теоремата на Паскал за вписания шестоъгълник [tex]AKBA_1CB_1[/tex] (възможни са и изродени случаи, ако [tex]\angle ABC=90^{\circ}[/tex] или [tex]\angle BAC=90^{\circ}[/tex], но там нещата са очевидни) следва, че точките [tex]M=A_1K\cap BC,\ O=AA_1\cap BB_1,\ N'=B_1K\cap AC[/tex] лежат на една права, но тогава [tex]N'=OM\cap AC=N[/tex], от което следва, че [tex]A_1M\cap B_1N=K\in k.[/tex] Тъй като [tex]OR[/tex] и [tex]OS[/tex] са средни отсечки съответно в [tex]\triangle AA_1M[/tex] и [tex]\triangle BB_1N[/tex], то [tex]A_1M||OR[/tex] и [tex]B_1N||OS[/tex], от което следва, че [tex]\angle ROS=\angle(A_1M,B_1N)=\angle A_1KB_1[/tex] (ъгли с взаимно успоредни рамене с еднакви направления). Но [tex]\triangle ABC\equiv\triangle A_1B_1C_1\Rightarrow \angle ACB=\angle A_1C_1B_1=\angle A_1KB_1=\angle ROS[/tex], което и трябваше да се докаже (в по общия случай е възможно [tex]K[/tex] и [tex]C_1[/tex] да лежат на двете допълнителни дъги [tex]\stackrel{\rotatebox{90}{\big)}}{A_1B_1}[/tex] , като тогава [tex]\angle ROS=180^{\circ}-\angle ACB[/tex]).

П.С. Възможно е и да се докаже, че [tex]\triangle ROS\sim\triangle MCN.[/tex]