4 точки на окръжност

[ins-]

През средите на височините, спуснати от върховете [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex] на остроъгълния триъгълник [tex]ABC[/tex] е прекарана права, пресичаща отсечките [tex]AC[/tex] и [tex]BC[/tex] в точките [tex]E[/tex] и [tex]F[/tex]. [tex]D[/tex] е петата на височината през върха [tex]C[/tex]. Да се докаже, че точките: [tex]C[/tex], [tex]D[/tex], [tex]E[/tex], [tex]F[/tex] лежат на окръжност.

[kucheto]

Нека [tex]M[/tex] е среда на [tex]AB,\ X[/tex] и [tex]Y[/tex] са пети на височините през [tex]A[/tex] и [tex]B,\ P[/tex] е среда на [tex]AX,\ Q[/tex] е среда на [tex]BY,\ H[/tex] е ортоцентърът на [tex]\triangle ABC[/tex] и [tex]\angle ACB=\gamma.[/tex] Имаме: [tex]\angle MDH=\angle MPH=\angle MQH=90^{\circ}\Rightarrow M,D,Q,H,P[/tex] лежат на една окръжност [tex]k_1[/tex] с център [tex]O_1[/tex] (това важи и за равнобедрен триъгълник с основа [tex]AB[/tex], където [tex]M\equiv D[/tex]). Също така, [tex]\angle FQD=180^{\circ}-\angle PQD=180^{\circ}-\angle PHD=180^{\circ}-\angle ABC=180^{\circ}-\angle DBF\Rightarrow B,D,Q,F[/tex] лежат на една окръжност [tex]k_2[/tex] с център [tex]O_2[/tex]. Аналогично, [tex]A,D,P,E[/tex] също лежат на окръжност [tex]k_3[/tex] с център [tex]O_3[/tex]. Оттук: [tex]\angle CEF=180^{\circ}-\angle AEP=\angle MDP=\angle MQP.[/tex] Аналогично, [tex]\angle CFE=\angle MPQ\Rightarrow \gamma=\angle ECF=PMQ=\angle PDQ.[/tex] Още повече, [tex]\angle PDE=\angle PAE=\angle HAC=90^{\circ}-\gamma[/tex] и аналогично [tex]\angle QDF=90^{\circ}-\gamma.[/tex] В крайна сметка, [tex]\angle EDF=\angle EDP+\angle PDQ+\angle QDF=90^{\circ}-\gamma+\gamma+90^{\circ}-\gamma=180^{\circ}-\gamma\Rightarrow E,D,F,C[/tex] лежат на една окръжност [tex]k_4[/tex] с център [tex]O_4[/tex], което трябваше да се докаже.


П.С. Задачата остава вярна и ако вместо среди вземем точките [tex]P[/tex] и [tex]Q[/tex] да са такива, че перпендикулярът през [tex]P[/tex] към [tex]AX[/tex] и перпендикулярът през [tex]Q[/tex] към [tex]BY[/tex] се пресичат в [tex]M\in AB[/tex], като доказателството е абсолютно същото.

В началото търсех някакво проективно решение, като по емпирични методи стигнах до разни изводи, които обаче не съм доказал, но са красиви и могат да бъдат използвани за упражнение, като първите 4 важат и в обобщения случай, а последните 2 имат проективна природа:
1) Окръжностите [tex]k_1[/tex] и [tex]k_4[/tex] се допират (в [tex]D[/tex]);
2) Окръжностите [tex]k_2[/tex] и [tex]k_3[/tex] се допират (в [tex]D[/tex]);
3) Окръжностите [tex]k_1[/tex] и [tex]k_4[/tex] са ортогонални на [tex]k_2[/tex] и [tex]k_3[/tex];
4) [tex]O_1O_4\cap EF\cap CM=T[/tex];
5) Четириъгълникът [tex]EDFC[/tex] е хармоничен;
6) Ако [tex]O_2O_3\cap EF=Z[/tex], то [tex]ZC[/tex]е допирателна към [tex]k_4.[/tex]