Параметър

[Zarrie]

Да се намерят стойностите на реалния параметър k, за които уравнението [tex]\sqrt{(x^{2} + kcos^{2} x)}=k[/tex] има единствен реален корен.

[Knowledge Greedy]

Да се намерят стойностите на реалния параметър [tex]k[/tex], за които уравнението [tex]\sqrt{(x^{2} + kcos^{2} x)}=k[/tex] има единствен реален корен.
Решение.
Първо да отбележим, че [tex]k\ge 0[/tex].

Функцията [tex]f(x)=\sqrt{x^{2} + kcos^{2} x}-k[/tex] е четна.
А именно, тя е със симетрично дефиниционно множество относно нулата
и за всяко [tex]x[/tex] е изпълнено [tex]f(-x)=f(x)[/tex].

Това означава, че ако [tex]\xi[/tex] е корен на уравнението, т.е.
[tex]f(\xi )=0[/tex], то и [tex]f(-\xi )=0[/tex] - значи даденото уравнение има поне два различни реални корена.

Е, за да бъде коренът един, трябва [tex]\xi=0[/tex].
Тогава
[tex]\sqrt{k}-k=0[/tex] и определяме [tex]k[/tex] от полученото ирационално уравнение.

Явно [tex]k_1=0[/tex] и [tex]k_2=1[/tex] .

Дотук бяха необходимите условия за [tex]k[/tex].
Достатъчност. Да се уверим, че намерените стойности на параметъра вършат работа.
При [tex]k=0[/tex] проверката е очевидна.
Нека сега [tex]k=1[/tex] .
Уравнението добива вида [tex]x^{2} + cos^{2} x=1[/tex] - след повдигане на квадрат. То е еквивалентно на [tex]x^{2}=sin^{2} x[/tex]
Първото притеснение за повече корени идва с графиката

Квадратна функция и синус на квадрат.PNG (8.39 KiB) Прегледано 1285 пъти

Но с изследване на функцията [tex]g(x)=x-sinx[/tex] съмненията отпадат - коренът е един и той е [tex]x=0[/tex].

[Zarrie]

Браво! Много красиво решение на задачата Само не разбрах защо точно тази буква, която гледах няколко секунди супер странно

[pipi langstrump]

Браво! Много красиво решение на задачата Само не разбрах защо точно тази буква, която гледах няколко секунди супер странно

Това е гръцкия еквивалент на латинското х, поне така си мисля, де.
А да докажем, че [tex]x^2 = \sin ^2 x[/tex] има единствено решение можем и ако знаем неравенството [tex]|\sin x|\le|x|[/tex] за всяко х, като равенство има само при х = 0.