Многоъгълници

[SMR]

Задача 1 Нека [tex]M[/tex] е [tex]2n-[/tex]ъгълник описан около окръжност, поне една от страните на който не е равна на никоя от останалите. Нека [tex]M^k[/tex] e [tex]2n-[/tex]ъгълник получен от [tex]M[/tex] чрез повдигане в [tex]k-[/tex]та степен дължините на страните му. Да се докаже, че в поне един от многоъгълниците [tex]M^k, \ k=2,3,...,n[/tex] не може да се впише окръжност.

[martin123456]

нека многоъгълникът е [tex]A_1A_2 \ldots A_{2n}[/tex] със страни [tex]A_1A_2=x_1[/tex], [tex]A_3A_4=x_2[/tex], ..., [tex]A_{2n-1}A_{2n}=x_n[/tex] и [tex]A_2A_3=y_1[/tex], [tex]A_4A_5=y_2[/tex], ..., [tex]A_{2n}A_1=y_n[/tex].
Да допуснем че във всички [tex]M^k[/tex] може да се впише окръжност. Щом може да се впише окръжност получаваме системата [tex](1) x_1^k+x_2^k+\cdots+x_n^k=y_1^k+y_2^k+\cdots+y_n^k \forall k[/tex].
разглеждаме полиномите [tex]f_1(x)=\prod_{i=1}^{n}{(t-x_i)}[/tex] и [tex]f_2(x)=\prod_{i=1}^{n}{(t-y_i)}[/tex].
Нека [tex]f_1(x)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^ka_kt^^{n-k}[/tex], [tex]f_2(x)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^kb_kt^^{n-k}[/tex].
Нека [tex]\varphi_k=\sum_{i=1}^{n}x_i^k[/tex], [tex]\psi_k=\sum_{i=1}^{n}y_i^k[/tex].

От идентичностите на Нютон е известно, че
[tex]\varphi_1=a_1[/tex], [tex]\varphi_2=a_1\varphi_1-2a_2[/tex], [tex]\varphi_3=a_1\varphi_2 -a_2\varphi_1+3a_3[/tex], [tex]\varphi_4 =a_1\varphi_3 -a_2\varphi_2+a_3\varphi_1-4a_4[/tex], [tex]\cdots[/tex] и
[tex]\psi_1=b_1[/tex], [tex]\psi_2=b_1\psi_1-2b_2[/tex], [tex]\psi_3=b_1\psi_2 -b_2\psi_1+3b_3[/tex], [tex]\psi_4 =b_1\psi_3 -b_2\psi_2+b_3\psi_1-4b_4[/tex], [tex]\cdots[/tex]

При нас [tex]\varphi_i=\psi_i \forall i[/tex].
Полседователно получаваме [tex]a_1=b_1[/tex], [tex]a_2=b_2[/tex], [tex]a_3=b_3[/tex], [tex]\ldots[/tex], [tex]a_n=b_n[/tex], [tex]\ldots[/tex].

Това означава че [tex]f_1(t) \equiv f_2(t)[/tex] и значи имат еднакви корени.
Така системата е решена.

Сега идва въпросът дали съществува многоъгълник с [tex]2n[/tex] страни, така че той може да се впише в окръжност, не всички страни на който са равни и алтернативните страни са пермутация на неалтернативните.

Аз стигам дотук. може и да съм сгрешил някъде

[SMR]

Това е идеята, поздравления за стегнатото решение.

[martin123456]

мерси, само че не е довършено.

[martin123456]

Решението ти е завършено тъй като ти доказа с допускане на противното, че за всяка страна на М има друга равна на нея страна, което е в противоречие с условието.

Поздрави,
Мирослав

а да
аз си помислиих че условието е да не са всички равни