Функция

[Zarrie]

Нека [tex]f(x) = ax^2 +bx +c[/tex], където [tex]a,b,c \in \Re[/tex]
Да се докаже, че:
[tex]a) f(x)=\frac{x(x-1)}{2}f(-1)+(1-x^2)f(0)+\frac{x(x+1)}{2}f(1)[/tex]
б) Ако[tex]|f(-1)|\le 1, |f(0)| \le 1[/tex][tex],|f(1)|\le 1\Rightarrow |f(x)|\le \frac{5}{4} \forall x \in [-1;1][/tex]

[0xdeadbeef]

б) Представяме [tex]f(x)[/tex] във вида а), имаме
[tex]|f(x)| = \left| \frac{x(x-1)}{2}f(-1) + (1-x^2)f(0) + \frac{x(x+1)}{2}f(1)\right|[/tex], сега като използваме неравенството на триъгълника и неравенствата в условието

[tex]|f(x)| \le \left| \frac{x(x-1)}{2}\right| + \left| (1-x^2)\right|+ \left|\frac{x(x+1)}{2}\right|[/tex]

сега намери максимумите на функциите в модулите в интервала [tex][-1,1][/tex] с което ще докажеш неравенството

П.П за а) ако искаш прочети за интерполационна формула на Лагранж

[Zarrie]

Задачата е от сборник за кандидат-студенти, затова смятам,че не трябва да се стига до интерполационната формула.

[ptj]

а.) Просто заместваш с [tex]f(1)=a+b+c; f(-1)=a-b+c; f(0)=c[/tex] .

[0xdeadbeef]

Коментара по а) беше информативен, иначе както каза ptj -- просто замести

[drago]

Коментарът е информативен, но защо да не дадем решение, което ще даде идея как се конструира Лагранжовия интерполационен полином.
Лявата и дясната страна на а) са полиноми от втора степен. Трябва да докажем, че са тъждествено равни. За това е достатъчно да посочим 3 различни точки, в които те приемат равни стойности. Кои да са те? Ами -1,0,1. Просто заметваш отляво и от дясно с тях и получваш едни и същи неща- съответно f(-1), f(0), f(1). Сега хващаш ли как е конструирана дясната страна и примерно, ако трябва да конструираш същото нещо, но за полином от напр. 3-та степен за точките 0,1,2, 3 как ще постъпим?

[ptj]

Идеята на полинома на Лагранж е изключително конструктивна. Той представлява сума от полиноми от n-та степен за (n+1) точки и техните функционални стойности.

[tex]L_n(x)=\sum\limits^{n}_{i=1}\bigg(_{j\ne j;}\prod_{j=1}^n \frac{x-x_j}{x_i-x_j}\bigg)y_i[/tex]

Например за 3 точки полинома на Лагренж ще изглежда по следния начин:

[tex]L_3(x)=\frac{(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}y_1+\frac{(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)}y_2+
\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)}y_3[/tex]

Ако не сте забелязали всяко от горните събираеми се нулира в точка различна от съответното [tex]x_i[/tex], а за него приема съответната функционална стойност [tex]y_i=f(x_i)[/tex].

За да намерим полинома на Лагранж за горната задача трябва само да заместим с :
[tex]x_1=-1; x_2=0; x_3=1[/tex] и [tex]y_1=f(-1); y_2=f(0); y_3=f(1)[/tex] ,

т.е. ще получим

[tex]\frac{(x-0)(x-1)}{(-1-0)(-1-1)}f(-1)+\frac{(x-(-1))(x-1)}{(0-(-1))(0-1)}f(0)+
\frac{(x-(-1))(x-0)}{(1-(-1))(1-0)}f(1)=[/tex]

[tex]=\frac{x(x-1)}{2}f(-1)+(1-x^2)f(0)+\frac{x(x+1)}{2}f(1)[/tex]

Това е точно полинома зададен в подусловие "а.)" .