Задача от контролно за МОМ от братска страна

[inveidar]

В триъгълник [tex]ABC[/tex] [tex]\angle BAC=60^0[/tex]. Вътрешните ъглополовящи на ъглите [tex]ABC[/tex] и [tex]ACB[/tex] пресичат страните [tex]AC[/tex] и [tex]AB[/tex] съответно в точките [tex]B_1[/tex] и [tex]C_1[/tex]. Нека още [tex]A_1[/tex] е симетричната на точка [tex]A[/tex] относно правата [tex]B_1 C_1[/tex]. Докажете, че точките [tex]A_1[/tex],[tex]B[/tex] и [tex]C[/tex] лежат на една права.

[ptj]

Имам една идея, но сметките не са особено приятни:

Параметри са страните [tex]a,b,c[/tex];[tex]AА_1\cap B_1C_1=\{т.O\}[/tex]

1.) От [tex]\Delta AB_1C_1[/tex] намираме [tex]B_1C_1[/tex].
2.) От синусова теорема за [tex]\Delta AB_1C_1[/tex] намираме [tex]sin(\angle AB_1C_1)[/tex].
3.) Намираме [tex]АО[/tex] и [tex]AA_1[/tex]
4.) От косинусова теорема за [tex]\Delta AA_1C[/tex] намираме [tex]A_1C[/tex] като използваме [tex]cos (\angle B_1AA_1)=sin(\angle AB_1C_1)[/tex]

5.) Изразяваме [tex]cos(\angle ACA_1)[/tex] от [tex]\Delta AA_1C[/tex]

6.) Ако за [tex]cos(\angle ACA_1)[/tex] сме получили [tex]\frac{a^2+b^2-c_2}{2ab}[/tex],то [tex]C,A_1,B[/tex] лежат на една права

7.) При опростяването на изразите трябва да използваме някъде [tex]a^2=b^2+c^2-bc[/tex] ([tex]60^\circ[/tex]-вия ъгъл)

[math10.com]

Имам една идея, но сметките не са особено приятни:

Параметри са страните [tex]a,b,c[/tex];[tex]AА_1\cap B_1C_1=\{т.O\}[/tex]

1.) От [tex]\Delta AB_1C_1[/tex] намираме [tex]B_1C_1[/tex].
2.) От синусова теорема за [tex]\Delta AB_1C_1[/tex] намираме [tex]sin(\angle AB_1C_1)[/tex].
3.) Намираме [tex]АО[/tex] и [tex]AA_1[/tex]
4.) От косинусова теорема за [tex]\Delta AA_1C[/tex] намираме [tex]A_1C[/tex] като използваме [tex]cos (\angle B_1AA_1)=sin(\angle AB_1C_1)[/tex]

5.) Изразяваме [tex]cos(\angle ACA_1)[/tex] от [tex]\Delta AA_1C[/tex]

6.) Ако за [tex]cos(\angle ACA_1)[/tex] сме получили [tex]\frac{a^2+b^2-c_2}{2ab}[/tex],то [tex]C,A_1,B[/tex] лежат на една права

7.) При опростяването на изразите трябва да използваме някъде [tex]a^2=b^2+c^2-bc[/tex] ([tex]60^\circ[/tex]-вия ъгъл)

УАУ , ужасна идея.Пробвай да я реализираш , но за мен това си е мазохизъм.
Задачата е готина и твърде лесна за контролно за национален отбор.Горе долу е на ниво общински кръг за 9-ти клас.Мога да я реша на около 10 реда и то без да направя нито една от споменатите от ptj сметки.Когато кажете поствам решение

П.П. Емо , коя е братската страна?

[inveidar]

Молдова! Но преди това е давана на национална олимпиада в Румъния - 9-ти клас.

[loving_math]

Мисля, че я реших (със седмокласен и осмокласен материал), но пусто не мога да чертая с тези програмки , та по-късно мога да пусна само чертежа, направен на ръка към съответното решение.

[loving_math]

Кога може да се пуска решение? Нали понякога има някакъв период на изчакване?

[inveidar]

Пускай веднага. Това е задача на седмицата. Тя е за всички участници.

[math10.com]

Аз поствам едно решение

zad111.png (145.47 KiB) Прегледано 821 пъти

П.П. Задачата е готина.Лесничка е.Не е чак за контролно за национален отбор.Може да се реши с материал познат на всеки завършил 8-ми клас , като точно поради тази причина може би ще затрудни по-големите ученици

[loving_math]

simetrichni tochki.jpg (372.7 KiB) Прегледано 820 пъти

Скрит текст: покажи

Аз се извинявам, но като родител на дечурлига в периода 7-8 клас съм повредена да гоня като империалист за детайлно изписване на решението. Затова не се дразнете, моля, от всяка елементарна описана стъпка. Станало ми е навик.

[inveidar]

П.П. Задачата е готина.Лесничка е.Не е чак за контролно за национален отбор.Може да се реши с материал познат на всеки завършил 8-ми клас , като точно поради тази причина може би ще затрудни по-големите ученици

Лесничка ама друг път. Задачата си е супер. Даже на международни олимпиади дават понякога по-лесни. Не е добре да се изказвате неинформирани и неподготвени, но това е присъщо на българите. Не трябва да се учудваме защо сме на тридесет и девето място на МОМ, въпреки че има толкова велики математици сред пишещите в този форум!

[inveidar]

Забравил съм да сложа велики в кавички!

[matst]

Нека [tex]B_2[/tex] е симетричната точка на [tex]B[/tex] относно [tex]B_1C_1[/tex]. Ъгъл [tex]\angle BB_1B_2=60^o[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] четириъгълник [tex]AB_2BB_1[/tex] е вписан. Ето защо, ъгъл [tex]\angle B_2AB=60^o[/tex].

Аналогично построение с точката [tex]C[/tex] влече [tex]\angle C_2AC=60^o[/tex].

Следователно, точките [tex]B_2[/tex], [tex]A[/tex], [tex]C_2[/tex] лежат на една права.

Следователно, точките [tex]B[/tex], [tex]A_1[/tex], [tex]C[/tex] лежат на една права.