Четириъгълник

[Zarrie]

Даден е вписаният четириъгълник ABCD със страни a, b, c, d. Намерете ъглите на четириъгълника.

[pipi langstrump]

С cos Th за диагоналите не става ли?
Друг вариант е с лица.

[Zarrie]

Става с косинусова теорема не съм пробвал с лица.

[Knowledge Greedy]

Ако не използваме формулата на Брахмагупта [tex]S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}[/tex], може да използваме пътя за доказването и, като спрем до момента на изразяването на един диагонал по два начина - с две косинусови теореми.

[s.karakoleva]

Нека означим ъглите на четириъгълника ABCD съответно с [tex]\alpha , \ \beta ,\ \gamma\ , \delta[/tex]
а страните[tex]AB=a,\ BC=b, \ CD=c,\ AD=d[/tex]

Тъй като [tex]\alpha +\gamma=180^\circ \Rightarrow \cos\alpha=-\cos \gamma , \ \sin\alpha=\sin\gamma[/tex]

[tex]cos T\ (\triangle ABD)\Rightarrow BD^2=a^2+d^2-2ad\cos\alpha[/tex]

[tex]cos T\ (\triangle BCD)\Rightarrow BD^2=b^2+c^2-2bc\cos\gamma=b^2+c^2+2bc\cos\alpha[/tex]

[tex]a^2+d^2-2ad\cos\alpha=b^2+c^2+2bc\cos\alpha[/tex]

[tex]\Rightarrow\cos\alpha =\frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)}[/tex]

Аналогично като приложим [tex]\ cos T[/tex] за [tex]\triangle ABC[/tex] и [tex]\triangle ADC[/tex]

[tex]\cos\beta=\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2(ab+cd)}[/tex]

[tex]\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\frac{\sqrt{(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)}}{2(ad+bc)}=\frac{2}{ad+bc}\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}[/tex]

Аналогично
[tex]\sin \beta=\frac{\sqrt{(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)}}{2(ab+cd)}=\frac{2}{ab+cd}\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}[/tex]

Друг начин е да се изрази всяка страна чрез радиуса и централните ъгли и се стига до изразяване на всеки ъгъл на четириъгълника като сбор на обратни тригонометрични функции. Ще го напиша накратко, но по-късно.

Трети начин, за който се сещам, е чрез вектори.

[s.karakoleva]

Решение чрез централни ъгли:
Нека да разгледаме централните ъгли [tex]\angle AOD\stackrel{\mbox{озн.}}{=}\pi-2\alpha_1[/tex], [tex]\angle AOB\stackrel{\mbox{озн.}}{=}\pi-2\beta_1[/tex] , [tex]\angle BOC\stackrel{\mbox{озн.}}{=}\pi-2\gamma_1[/tex], [tex]\angle COD\stackrel{\mbox{озн.}}{=}\pi-2\delta_1[/tex].

[tex]\cos\beta_1=\frac{a}{2R},\ \cos\gamma_1=\frac{b}{2R},\ \cos \delta_1=\frac{c}{2R},\ \cos\alpha_1=\frac{d}{2R}[/tex]

1.сл. O-вътрешна за четириъгълника ABCD

[tex]\alpha =\alpha_1+\beta_1, \ \beta=\beta_1+\gamma_1, \ \gamma=\gamma_1+\delta_1,\ \delta=\alpha_1+\delta_1[/tex]

[tex]R=\frac14\sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)(ab+cd)}{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}, \ p=\frac{a+b+c+d}2[/tex]
[tex]\alpha=\alpha_1+\beta_1=\arccos \frac{d}{2R} + \arccos \frac{a}{2R}[/tex]
[tex]\beta=\gamma_1+\beta_1=\arccos \frac{b}{2R} + \arccos \frac{a}{2R}[/tex]
[tex]\gamma=\pi -\alpha=\delta_1+\gamma_1=\arccos \frac{c}{2R} + \arccos \frac{b}{2R}[/tex]
[tex]\delta=\pi-\beta=\alpha_1+\delta_1=\arccos \frac{d}{2R} + \arccos \frac{c}{2R}[/tex]

Пример: [tex]a=25,\ b=33, \ c=39,\ d=65,\ R=32.5, \ (О\in AD)[/tex]
[tex]\alpha=1.176 (rad), \ \beta=2.2143 (rad)[/tex]

2.сл. O-външна за четириъгълника ABCD
2.1. Ако т. A,B,C,D са разположени върху една от двете полуокръжности, нa които диаметърът през т. А разделя описаната окръжност

[tex]\alpha=\alpha_1-\beta_1,\ \beta=\gamma_1-\beta_1[/tex]

Пример: [tex]a=2\sqrt3, \ b=\sqrt6-\sqrt2, \ c=\sqrt6-\sqrt2, \ d=2, \ R=2, \ \alpha= 0.5236 (rad)=30^\circ, \ \beta= 0.7854 (rad)=45^\circ[/tex]

2.2.[tex]\ldots[/tex]
Останалите случаи са аналогични.