Пресечна точка на две прави и една окръжност

[Knowledge Greedy]

Даден е триъгълник [tex]\Delta ABC[/tex], около него е описана окръжността [tex]k[/tex], точката [tex]I[/tex] e център на вписаната окръжност, точката [tex]D[/tex] e средата на дъгата [tex]\widehat{AB}[/tex] от [tex]k[/tex], която не съдържа точка [tex]C[/tex].
Нека още точките [tex]E\in AB[/tex] и [tex]F\in\widehat{DB}[/tex], като при това [tex]\angle ACE= \angle BCF[/tex].
Точката [tex]G[/tex] нека е средата на отсечката [tex]EI[/tex].
Да се докаже, че правите [tex]DG[/tex] и [tex]FI[/tex] се пресичат в точка от описаната окръжност [tex]k[/tex].

[Knowledge Greedy]

Решение. Според данните в условието [tex]1.) \angle ACE =\angle BCF \,\ и \,\ 2.) \angle BFC = \angle EAC=\frac{1}{2}\widehat{CB} \,\ \Rightarrow \Delta CFB \sim \Delta CAE \,\ \Rightarrow \,\ \frac{CF}{CA}=\frac{CB}{CE} \,\ (1)[/tex]

Миналата седмица 1.PNG (9.6 KiB) Прегледано 658 пъти

Ще излезем извън триъгълника, до центъра [tex]I_C[/tex] на неговата външно вписана окръжност зад страната [tex]AB[/tex].
Известно е,че точката D е среда на отсечката [tex]I_CI[/tex]. Това автоматично означава, че в [tex]\Delta EI_CI[/tex]
отсечката [tex]DG[/tex] е средна отсечка в [tex]\Delta EI_CI[/tex]. Следователно [tex]\angle IDG= \angle II_CE[/tex]. То е същото като [tex]\angle CDG= \angle CI_CE \,\ (2)[/tex].

Миналата седмица 2.PNG (9.68 KiB) Прегледано 658 пъти

Да разгледаме [tex]\Delta CIB[/tex] и [tex]\Delta CAI_C[/tex]. Точките [tex]I[/tex] и [tex]I_C[/tex] са върху ъглополовящата на [tex]\angle BCA \,\ \Rightarrow \,\ \angle BCI = \angle I_CCA \,\ (3)[/tex]
Да означим [tex]\angle CAB=\alpha[/tex]. Тогава [tex]\angle CIB = 90^\circ +\frac{1}{2}\alpha[/tex], но също и [tex]\angle CAI_C= 90^\circ +\frac{1}{2}\alpha[/tex]. Ето защо следва [tex]\angle CIB =\angle CAI_C \,\ (4)[/tex]

От [tex](3) \,\ и \,\ (4) \,\ \Rightarrow \,\ \Delta CIB \sim \Delta CAI_C \,\ \Rightarrow \,\ \frac{CA}{CI}=\frac{CI_C}{CB} \,\ (5)[/tex]

Миналата седмица 3.PNG (9.64 KiB) Прегледано 658 пъти

Да умножим почленно [tex](5) \,\ и \,\ (1)[/tex] . Получава се [tex]\frac{CF}{CI}=\frac{CI_C}{CE} \,\ \Leftrightarrow \,\ \frac{CF}{CI_C}=\frac{CI}{CE} \,\ (6)[/tex]

От условието [tex]\angle ACE =\angle BCF[/tex] и от ъглополовящата [tex]CI_C[/tex]следва, че [tex]\angle ICF= \angle ECI_C \,\ (7)[/tex]

Условията [tex](6) \,\ и \,\ (7)[/tex] са достатъчни за [tex]\Delta CEI_C \sim \Delta CIF[/tex] - втори признак.

И сега изводът, от който се нуждаем най-много [tex]\Delta CEI_C \sim \Delta CIF \,\ \Rightarrow \,\ \angle CI_CE= \angle CFI[/tex]

Като сравним този резултат с резултата [tex](2)[/tex] установяваме, че [tex]\angle CDG= \angle CFI \,\ (8)[/tex]

Нека [tex]DG[/tex] пресича описаната окръжност [tex]k[/tex] в точка [tex]Q[/tex].
Да допуснем, че пресечната точка на [tex]FI[/tex] с окръжността [tex]k[/tex] е [tex]Q_1[/tex].
Тогава от равенството [tex](8)[/tex] на вписаните ъгли ще се получи [tex]\widehat{CQ} = \widehat{CQ_1}[/tex] и значи [tex]Q_1\equiv Q \,\ (\ast)[/tex] .
Последното означава, че правите [tex]FI[/tex] и [tex]DG[/tex] се пресичат върху окръжността [tex]k[/tex], описана около дадения [tex]\Delta ABC[/tex].
_____________
[tex](\ast)[/tex] Съществено е да се отбележи, че точките [tex]Q_1[/tex] и [tex]Q[/tex] са в една и съща полуравнина с контур [tex]CI_C[/tex], точно защото последните две двойки от разглежданите подобни триъгълници бяха в различни полуравнини с този контур (от двете страни на ъглополовящата на ъгъл C).