С линийка и пергел

[SMR]

Задача Да се построи триъгълник при зададени в равнината центрове на вписаната и описаната окръжности, и център на външновписана окръжност.

[ganka simeonova]

Задачата няма да мине без алгебричен метод. Ще опиша основните стъпки при решаването иc
Нека Р е среда на [tex]JJ_c[/tex]=>P лежи на описаната около АВС окр.
Тогава
1)[tex]OP=R[/tex]
2) От [tex]OJ^2=R^2-2Rr=>r=\frac{R^2-OJ^2}{2R }[/tex]
3)От[tex]OJ_c2=R^2+2Rr_c=>r_c=\frac{OJ_c^2-R^2}{2R }[/tex]
4)От[tex]h_c=\frac{2rr_c}{r_c-r }[/tex] намираме [tex]h_c[/tex]
5)От [tex]cos\gamma =\frac{2R-r_c+r}{2R }[/tex] намираме този косинус, като отношение на прилежащ катет и хипотенуза с дължини съответно равни на числителя и знаменателя.
Тогава синусът ще е отношение на втория катет, да го наречем p и 2R.
6) Oт [tex]AB=2Rsin\gamma=2R.\frac{p}{2R} =p[/tex] Намираме и АВ.
Сега вече да опишем построението..
1) Построяваме АВ; 2) Построяваме симетралата на АВ и окр. с център А и радиус R. Пресечните точки определят центъра О на описаната окр.
3) Построяваме описаната окр.; 4) Построяваме права
успоредна на АВ и на разстояние [tex]h_c[/tex] от нея. Тя ще пресече окр в най- много две точки. Така ще фиксираме и третия връх на триъгълника.
Ясно е, че задачата има решение при определена зависимост за радиусите.

[SMR]

Това е идеята, браво