Равенство на отсечки и конкурентност на прави

[Knowledge Greedy]

[tex]ABCD[/tex] е произволен изпъкнал четириъгълник. Означаваме с [tex]P, Q[/tex] и [tex]R[/tex] петите на перпендикулярите, спуснати от точката [tex]D[/tex] към правите [tex]BC, CA[/tex] и [tex]AB[/tex] - съответно.
Да се докаже, че [tex]PQ=QR[/tex] тогава и само тогава, когато ъглополовящите на ъглите [tex]\angle ABC[/tex] и [tex]\angle ADC[/tex] се пресичат върху правата [tex]AC[/tex] .

[Knowledge Greedy]

Мина седмица и споделям решението.

Равни отсечки и конкурентни прави.PNG (11.34 KiB) Прегледано 432 пъти

Дължините на страните на дадения четириъгълник са означени върху чертежа. Означени са още [tex]\angle BAC=\alpha[/tex] и [tex]\angle BCA=\gamma[/tex]
Явно четириъгълникът [tex]APQD[/tex] е вписан в окръжност. Диаметър на тази окръжност е [tex]AD[/tex]. Със синусова теорема достигаме до
[tex]\,\ QP=d.sin\alpha \,\ (1)[/tex]
Аналогично, около четириъгълника [tex]CRDQ[/tex] може да се опише окръжност, нейният диаметър е [tex]CD[/tex].
Ето защо по синусова теорема
[tex]\,\ QR=csin(180^\circ -\gamma)=c \,\ sin\gamma \,\ (2)[/tex]

Образуваме почленното частно [tex]\frac{QP}{QR}=\frac{d \,\ sin\alpha}{c \,\ sin\gamma} \,\ (3)[/tex]
Отношението [tex]\frac{d}{c}[/tex] се появява в релация, свързана със свойството на ъглополовящата [tex]DM[/tex] на [tex]\angle CDA[/tex] в [tex]\Delta ACD[/tex] ([tex]\,\ точка \,\ M \in AC[/tex])

Отношението [tex]\frac{ sin\alpha}{ sin\gamma}[/tex] се появява в синусова теорема за [tex]\Delta ABC[/tex], а именно [tex]\frac{a}{sin\gamma}=\frac{b}{sin \alpha} \,\ \Leftrightarrow \,\ \frac{ sin\alpha}{ sin\gamma}=\frac{b}{a}[/tex]
Последното частно е точно отношението на частите [tex]CN[/tex] и [tex]AN[/tex], на които ъглополовящата [tex]BN[/tex] на [tex]\angle ABC[/tex] в [tex]\Delta ABC[/tex].

Така равенството [tex](3)[/tex] придобива вида [tex]\frac{QP}{QR}=\frac{bd }{ac} \,\ (4)[/tex]
Сега вече е ясно, че [tex]QP=QR \,\ \overset{(4)}{\Leftrightarrow } \,\ \frac{c}{d}=\frac{b}{a} \,\ \Leftrightarrow M \equiv N[/tex]
- т. к. т. д.
_________________
Възможно е да се получи друга геометрична конфигурация на вписаните четириъгълници. Но в доказателството се появяват и използват само синуси на допълващи се до [tex]180^\circ[/tex] ъгли и синусова теорема. Изводите остават същите.