Три точки на една права и равенство на лица

[Knowledge Greedy]

Описаната около [tex]\Delta ABC[/tex] окръжност е с радиус [tex]R[/tex] .Отсечката [tex]CD[/tex] е височина, [tex]D \in AB[/tex]. Спуснати са и перпендикулярите [tex]DE \bot AC[/tex] и [tex]DF \bot BC[/tex]. Точките [tex]\,\ E \,\ и \,\ F[/tex] са пети на тези перпендикуляри. Точката [tex]O \in EF[/tex].
Да се докаже равенството на лицата [tex]S_{ABFE}=S_{\Delta EFC}[/tex]. Вярно ли е обратното - ако [tex]S_{ABFE}=S_{\Delta EFC}[/tex], то [tex]O\in EF \,\ ?[/tex]

[inveidar]

Точката О център на описаната окръжност ли е? За какво ни е даден радиусът R?

[Knowledge Greedy]

Описаната около ΔABC окръжност е с център точката [tex]O[/tex]. Отсечката [tex]CD[/tex] е височина,[tex]D∈AB[/tex]. Спуснати са и перпендикулярите [tex]DE⊥AC[/tex] и [tex]DF⊥BC[/tex]. Точките [tex]E[/tex] и [tex]F[/tex] са пети на тези перпендикуляри. Точката [tex]O∈EF[/tex].
Да се докаже равенството на лицата [tex]S_{ABFE}=S_{ΔEFC}[/tex]. Вярно ли е обратното - ако [tex]S_{ABFE}=S_{ΔEFC}[/tex], то [tex]O∈EF[/tex] ?

[inveidar]

haha.png (19.66 KiB) Прегледано 464 пъти

Да започнем с три известни факта. Ако [tex]A_1[/tex] и [tex]B_1[/tex] са петите на височините на [tex]\Delta ABC[/tex] съответно през върховете [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex], то [tex]\Delta A_1B_1C \sim \Delta ABC[/tex] (1), като [tex]\angle B_1A_1C = \angle BAC[/tex] (2) и [tex]OC\bot A_1B_1[/tex] (3).
Нека първо [tex]O[/tex] да е от [tex]EF[/tex], както е в условието.Лесно се доказва още, че [tex]DFCE[/tex] е вписан четириъгълник и [tex]CD[/tex] е диаметъра на описаната около него окръжност [tex]k_1[/tex], а [tex]\angle FDE=180^0-\gamma[/tex], където с [tex]\gamma[/tex] сме означили мярката на [tex]\angle ACB[/tex]. Тогава от синусовата теорема получаваме [tex]\frac{EF}{sin(180^0-\gamma)}=CD \Leftrightarrow EF=CD.sin \gamma[/tex] (4).
[tex]\angle EFC=\angle EDC[/tex](вписани в [tex]k_1[/tex]), а [tex]\angle EDC= \angle BAC[/tex] ( триъгълниците [tex]EDC[/tex] и [tex]DAC[/tex] имат по два равни ъгъла). От тези равенства следва, че [tex]\Delta FEC \sim \Delta ABC[/tex] (5) и още [tex]\angle EFC=\angle BAC=\angle B_1A_1C[/tex] (от (1)), т.е [tex]EF||A_1B_1[/tex] и от (3) получаваме [tex]CO \bot EF[/tex], т.е [tex]CO[/tex] и [tex]DO[/tex] са съответни височини в подобните триъгълници. Тогава [tex]\frac{CO}{CD}=\frac{EF}{AB}[/tex]. Като използваме, че [tex]CO=R[/tex] ([tex]R[/tex] е радиусът на описаната около [tex]ABC[/tex] окръжност),(4) и синусовата теорема, намираме [tex]\frac{R}{CD}=\frac{CD.sin \gamma}{2R.sin \gamma} \Leftrightarrow \frac{R^2}{CD^2}=\frac{1}{2}[/tex]. Но от (5) [tex]\frac{S_{EFC}}{S_{ABC}}=\frac{CO^2}{CD^2}=\frac{R^2}{CD^2}=\frac{1}{2}[/tex], което означава точно [tex]S_{EFC}=S_{ABFE}[/tex].

[inveidar]

Обратното. Нека [tex]\frac{S_{EFC}}{S_{ABC}}=\frac{1}{2}[/tex] (1) и лъчът [tex]CO[/tex] пресича [tex]EF[/tex] в точка [tex]O_1[/tex].Тогава [tex]CO_1[/tex] се явява височина в [tex]\Delta EFC[/tex], който отново е подобен на [tex]\Delta ABC[/tex] и следователно [tex]\frac{S_{EFC}}{S_{ABC}}=\frac{CO_1^2}{CD^2}[/tex] (2). Но [tex]\frac{CO_1}{CD}=\frac{EF}{AB} \Leftrightarrow \frac{CO_1}{CD}=\frac{CD.sin \gamma}{2R.sin \gamma} \Leftrightarrow \frac{CO_1}{CD^2}=\frac{1}{2R}[/tex].
Сега от (2) [tex]\frac{S_{EFC}}{S_{ABC}}=\frac{CO_1.CO_1}{CD^2} \Leftrightarrow \frac{S_{EFC}}{S_{ABC}}=\frac{CO_1}{2R}[/tex] и от (1) намираме [tex]\frac{CO_1}{2R}=\frac{1}{2}[/tex]. Последното означава, че [tex]CO_1=R[/tex]. Но и [tex]CO=R[/tex], т.е [tex]O\equiv O_1[/tex].

[inveidar]

Обратното. Нека [tex]\frac{S_{EFC}}{S_{ABC}}=\frac{1}{2}[/tex] (1) и лъчът [tex]CO[/tex] пресича [tex]EF[/tex] в точка [tex]O_1[/tex].Тогава [tex]CO_1[/tex] се явява височина в [tex]\Delta EFC[/tex], който отново е подобен на [tex]\Delta ABC[/tex] и следователно [tex]\frac{S_{EFC}}{S_{ABC}}=\frac{CO_1^2}{CD^2}[/tex] (2). Но [tex]\frac{CO_1}{CD}=\frac{EF}{AB} \Leftrightarrow \frac{CO_1}{CD}=\frac{CD.sin \gamma}{2R.sin \gamma} \Leftrightarrow \frac{CO_1}{CD^2}=\frac{1}{2R}[/tex].
Сега от (2) [tex]\frac{S_{EFC}}{S_{ABC}}=\frac{CO_1.CO_1}{CD^2} \Leftrightarrow \frac{S_{EFC}}{S_{ABC}}=\frac{CO_1}{2R}[/tex] и от (1) намираме [tex]\frac{CO_1}{2R}=\frac{1}{2}[/tex]. Последното означава, че [tex]CO_1=R[/tex]. Но и [tex]CO=R[/tex], т.е [tex]O\equiv O_1[/tex].

Може и още по-лесно така [tex]\frac{S_{EFC}}{S_{ABC}}=\frac{1}{2}=\frac{EF.CO_1}{AB.CD}=\frac{CD.sin \gamma .CO_1}{2R.sin \gamma .CD}=\frac{CO_1}{2R}[/tex] и после като предишното.
Същото можем да направим и когато [tex]O[/tex] лежи на [tex]EF[/tex] и да съкратим и предишното решение.

[Knowledge Greedy]

Ще пусна и моето, което май е почти същото (но е цветно , пък и седмицата изтича ).

Втората седмица на юли 2015.PNG (8.82 KiB) Прегледано 429 пъти

Поради равенствата [tex]\angle CED=90^\circ=\angle CFD[/tex], четириъгълникът [tex]DFCE[/tex] e вписан в окръжност. А от равенството на вписаните ъгли [tex]\angle CDF=\angle CEF[/tex] и равенството [tex]\angle CDF=\angle CAD =\alpha[/tex] - в правоъгълния [tex]\Delta CAD[/tex] следва, че [tex]\Delta EFC \sim \Delta ABC \,\ (\ast)[/tex]

Втората седмица на юли 2015_2.PNG (9.69 KiB) Прегледано 429 пъти

[tex]\Delta BCO[/tex] е равнобедрен - бедрата му са радиуси на описаната окръжност около [tex]\Delta ABC[/tex] и тогава [tex]\angle BOC = 2\alpha[/tex], а това води до [tex]\angle BCO = 90^\circ -\alpha[/tex], което означава, че [tex]CO[/tex] е височина на [tex]\Delta FEC.[/tex]

Втората седмица на юли 2015_3.PNG (8.09 KiB) Прегледано 429 пъти

С определението за синус от правоъгълните [tex]\Delta DCE[/tex] и [tex]\Delta CDF[/tex] намираме страните на [tex]\Delta EFC[/tex] - на чертежа, изразени чрез височината [tex]h[/tex].
Сега от подобието [tex](\ast)[/tex] разписваме необходимите отношения на съответни линейни елементи
[tex]\frac{hsin\alpha}{a}=\frac{EF}{c}=\frac{R}{h}[/tex]
Първото и последно отношения дават [tex]\frac {h \cancel{sin\alpha}}{2R \cancel{sin \alpha}}=\frac {R}{h} \,\ \Rightarrow \,\ h^2=2R^2[/tex]

Сега за лицата имаме [tex]S_{\Delta EFC}=\frac{1}{2}EF.R=\frac{1}{2}\frac{cR^2}{h}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}\frac{ch^2}{h}=\frac{1}{2}S_{\Delta ABC}[/tex] - равносилно на това, което трябваше да се докаже.