Разстояния 2, 3 и 4 от вътрешна точка до върховете

[Knowledge Greedy]

Разстоянията от точка във вътрешността на равностранен триъгълник до върховете му са 2, 3 и 4 cm. Намерете лицето на триъгълника.

[Добромир Глухаров]

[tex]S=\frac{29\sqrt{3}+9\sqrt{15}}{8}[/tex] - толкова ли е?

[loving_math]

И аз толкова го изкарах лицето.

[tex]QA= 2cm, QB= 3cm, QC=4 cm; AB=BC=CA=a[/tex]
При осева симетрия спрямо AB,BC и АС т. Q се изобразява съответно в [tex]M, N, P.[/tex]
[tex]\Rightarrow AM=2 cm, MB=3cm, BN=3cm, CN=4 cm, CP=4 cm, PA=2cm[/tex]
[tex]\angle PAM = \angle MBN= \angle PCN =120^\circ[/tex]
[tex]Sin T: PM=2\sqrt{3} cm, MN=3\sqrt{3}cm, PN=4\sqrt{3}cm[/tex]
по Херонова формула [tex]S_{MNP}=\frac{9\sqrt{15}}{4} cm^2[/tex]
[tex]S_{AMBNCP}=2S_{ABC}[/tex]
[tex]S_{AMBNCP}=\frac{2.2.sin120}{2} +\frac{3.3.sin120}{2}+ \frac{4.4.sin120}{2} +\frac{9\sqrt{15}}{4} =\frac{29\sqrt{3}}{4} +\frac{9\sqrt{15}}{4}[/tex]
[tex]S_{ABC}=\frac{29\sqrt{3}+9\sqrt{15}}{8}[/tex]