Разстояния 3, 5 и 8 до върховете на триъгълник

[Knowledge Greedy]

Точка [tex]M[/tex] е външна за равностранния триъгълник [tex]\Delta ABC[/tex] и е на разстояния 3, 5 и 8 до върховете му. Определете страната на триъгълника.

[ptj]

Ако свържем върховете на триъгълника с [tex]т. М[/tex] , то ъглите при нея са [tex]60^\circ[/tex],[tex]60[/tex] и [tex]120^\circ[/tex]. С косинусова теорема се намира, че страната на равностранния триъгълник е 7.

Решението очевидно е единствено, т.е. не е необходимо доказателство за мерките на споменатите ъгли.

[inveidar]

Използваме теоремата на Помпею. http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/ ... xplanation

[Nathi123]

Да означим АВ=ВС=АС=а. Смятам,че никак не е очевидно ,че ъглите СМА и АМВ са по 60 [tex]^\circ[/tex].Това се доказва например с Теорема на Птолемей формулирана като необходимо и достатъчно условие за вписан четириъгълник.Задачата може да се реши и без нейното използване като се приложи кос т-ма за триъг. АСМ и триъг. ВСМ,ако означим ъгл ВАС = х,тогава ъгъл 60[tex]^\circ[/tex] - x. С малко изразявания, използвайки основното тригонометрична тъждество за х ,cos(60[tex]^\circ[/tex]-x) се получава а= 7.

[inveidar]

,ако означим ъгл ВАС = х,тогава ъгъл 60[tex]^\circ[/tex] - x.

Това нещо не го разбрах?

[Nathi123]

Малко бърза.Означенията ,които въвеждам за ъглите са ъгъл МАВ=х,тогава ъгъл САМ = 60[tex]^\circ[/tex]-x.

[Nathi123]

Ако малко изменим условието на задачата, а именно : разстоянията до върховете на равностранен триъгълник са 3,5 и 7 по описани начин се получава,че има два равностранни триъгълника отговарящи на това условие със страна съответно [tex]\sqrt{19}[/tex] или страна равна на 8. При такова условие не може да се използва Т на Птоломей.

[inveidar]

Малко бърза.Означенията ,които въвеждам за ъглите са ъгъл МАВ=х,тогава ъгъл САМ = 60[tex]^\circ[/tex]-x.

Или [tex]\angle CAM=x-60^0[/tex].

[inveidar]

Ако малко изменим условието на задачата, а именно : разстоянията до върховете на равностранен триъгълник са 3,5 и 7 по описани начин се получава,че има два равностранни триъгълника отговарящи на това условие със страна съответно [tex]\sqrt{19}[/tex] или страна равна на 8. При такова условие не може да се използва Т на Птоломей.

Естествено, че е така, защото 7 не е равно на 5+3.

[Nathi123]

Точка М лежи на описаната около триъг.АВС окръжност и да речем съм я взеле на дъгата ВС ,която не съдържа т.А. Ако я взема на дъгата АС,която не съдържа т.В,тогава с х бих означила ъгъл МВС,значи ъгъл МВА ще е 60 - х. Но независимо от положението на т.М се изразяват cosx и cos( 60 - x) например. Също cos(60 - x) = cos ( x - 60 ) . Ако т.М не лежи на описаната около триъг.АВС окръжност ( ако разстоянията са 3,5,7) ,задачата става малко по - трудна.

[inveidar]

Точка М лежи на описаната около триъг.АВС окръжност и да речем съм я взеле на дъгата ВС ,която не съдържа т.А. Ако я взема на дъгата АС,която не съдържа т.В,тогава с х бих означила ъгъл МВС,значи ъгъл МВА ще е 60 - х. Но независимо от положението на т.М се изразяват cosx и cos( 60 - x) например. Също cos(60 - x) = cos ( x - 60 ) . Ако т.М не лежи на описаната около триъг.АВС окръжност ( ако разстоянията са 3,5,7) ,задачата става малко по - трудна.

Точката М първо трябва да докажеш, че лежи на описаната окръжност. А ако не го използваш, а работиш с ъгли, то ще се наложи да разгледаш всички възможности за избраните от теб ъгли. Но така или иначе, идеята ти работи!

[ptj]

[tex]AM=8,BM=5, CM=3[/tex]

Нека [tex]т.N[/tex] е вътрешна за равностранния [tex]\Delta ABC[/tex], за която [tex]AN=BN=5[/tex] и [tex]CN=3[/tex].
[tex]CN[/tex] очевидно лежи на ъглоповящата на ъгъл [tex]ACB[/tex], т.е. [tex]\angle NCB=30^\circ[/tex].

[tex]\Delta CMB\cong \Delta CNB[/tex] (III-ти пр.)[tex]\Rightarrow \angle MCB=\angle NCB[/tex], т.е. четириъгълника [tex]NBMC[/tex] е делтоид.

Тогава [tex]CB=\sqrt{3^2-(\frac{3}{2})^2}+\sqrt{5^2-(\frac{3}{2})^2}=\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{91}}{2}[/tex]

Къде е грешката???

[math10.com]

[tex]AM=8,BM=5, CM=3[/tex]

Нека [tex]т.N[/tex] е вътрешна за равностранния [tex]\Delta ABC[/tex], за която [tex]AN=BN=5[/tex] и [tex]CN=3[/tex].
.........................
Къде е грешката???

И как прецени че ако [tex]AM=8,BM=5, CM=3[/tex] и [tex]AN=BN=5[/tex] то [tex]CN=3[/tex]?Така да се каже защо си мислиш че такава точка [tex]N[/tex] отговаряща на това изискване съществува?

[ptj]

Съществува, но не точно за този равностранен триъгълник.

[Nathi123]

Точка М лежи на описаната около триъг.АВС окръжност и да речем съм я взеле на дъгата ВС ,която не съдържа т.А. Ако я взема на дъгата АС,която не съдържа т.В,тогава с х бих означила ъгъл МВС,значи ъгъл МВА ще е 60 - х. Но независимо от положението на т.М се изразяват cosx и cos( 60 - x) например. Също cos(60 - x) = cos ( x - 60 ) . Ако т.М не лежи на описаната около триъг.АВС окръжност ( ако разстоянията са 3,5,7) ,задачата става малко по - трудна.

Точката М първо трябва да докажеш, че лежи на описаната окръжност. А ако не го използваш, а работиш с ъгли, то ще се наложи да разгледаш всички възможности за избраните от теб ъгли. Но така или иначе, идеята ти работи!

Като се намери страната на триъгълника ,че е 7 въобще не е проблем да се докаже с необходимото и достатъчно условие четириъгълник да е вписан в окръжност,че т.М лежи на тази окръжност. Твърдя ,че не е необходимо по тази причина да се разглеждат случаи.

[inveidar]

Нали и аз това казвам? Ако докажеш, че е вписан, няма нужда от случаи. Ако работиш с ъглите х и т.н, а не си доказал, че е вписан, трябват случаи.

[inveidar]

Нали и аз това казвам? Ако докажеш, че е вписан, няма нужда от случаи. Ако работиш с ъглите х и т.н, а не си доказал, че е вписан, трябват случаи.

[Евва]

Ето как разсъждавам -нека т.М и т.А лежат в различни полуравнини относно правата ВС .
АВ=BC=AC=x=?
ABMC е четириъгълник , за който диагоналите AM=8 и BC=x , а страните са AB=x , MC=5 ,BM=3 ,AC=x .
Забелязваме , че 8x=5x+3x т.е. AM.BC=MC.AB+BM.AC
Такова равенство участва в обратното твърдение на първата теорема на Птоломей .
Щом това равенство е изпълнено ,то четириъгълникът АВМС може да бъде вписан в окръжност [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\angle[/tex]BMC+[tex]\angle[/tex]BAC=180[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]BMC+60[tex]^\circ[/tex]=180[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]BMC=120[tex]^\circ[/tex]

([tex]\triangle[/tex]BMC-cos T) [tex]x^{2 }[/tex]=25+9-2.5.3cos120[tex]^\circ[/tex]
[tex]x^{2 }[/tex]=34-30( -[tex]\frac{1}{2}[/tex])
x=[tex]\sqrt{49}[/tex]=7

[Румен Симеонов]

Да означим АВ=ВС=АС=а. Смятам,че никак не е очевидно ,че ъглите СМА и АМВ са по 60 [tex]^\circ[/tex].Това се доказва например с Теорема на Птолемей формулирана като необходимо и достатъчно условие за вписан четириъгълник.Задачата може да се реши и без нейното използване като се приложи кос т-ма за триъг. АСМ и триъг. ВСМ,ако означим ъгл ВАС = х,тогава ъгъл 60[tex]^\circ[/tex] - x. С малко изразявания, използвайки основното тригонометрична тъждество за х ,cos(60[tex]^\circ[/tex]-x) се получава а= 7.

Theorem (F. van Schooten, 1615 - 1660).
For an equilateral triangle $\triangle ABC$ with a point P on its circumcircle the length of longest of the three line segments $PA,PB,PC$ connecting $P$ with the vertices of the triangle equals the sum of the lengths of the other two.

Ами, не съм съвсем сигурен, че само неочевидни неща са били наричани теореми на някого, като тази на Франс ва Джодан (Frans van Schooten), например. Но пък, вярно е, че очевидното сега не е било очевидно тогава. Все пак, има в горните решения неочевидни неща. Например, никой не доказва (а всеки го използва), че точката $P$ не би могла да се окаже в ъгъл противоположен на някой от вътрешните ъгли на триъгълника (което все пак е факт и аз мога да го докажа).

[grav]

Theorem (F. van Schooten, 1615 - 1660)
For an equilateral triangle $\triangle ABC$ with a point P on its circumcircle the length of longest of the three line segments {\displaystyle PA,PB,PC} connecting P with the vertices of the triangle equals the sum of the lengths of the other two.

Ами, не съм сигурен, че само неочевидни неща са наречени теореми, като тази на Франс ва Джодан (Frans van Schooten), например.

!!!