Теорема на Вериер

[inveidar]

Докажете, че в триъгълник отсечката, която свързва допирните точки на полувписана в този триъгълник окръжност със стрните на триъгълника, минава през центъра на вписаната в триъгълника окръжност. (Полувписана окръжност наричаме тази, която се допира до две от страните на триъгълника и до описаната около него окръжност.)

[monika_at]

Надявам се, ще ни дадеш време, около седмица:) Още не знам как да подходя, но само да попитам. Мога ли да ползвам свойството на симедианата ( ако ми се наложи) наготово? Или да го докажа. За равните ъгли.

[inveidar]

Надявам се, ще ни дадеш време, около седмица:) Още не знам как да подходя, но само да попитам. Мога ли да ползвам свойството на симедианата ( ако ми се наложи) наготово? Или да го докажа. За равните ъгли.

Ами докажи го, ще е полезно да се види.

[monika_at]

verier.png (58.26 KiB) Прегледано 638 пъти

Очевидно [tex]O, J, L[/tex] лежат на една права. Разгл. [tex]\Delta PJL, \Delta NOL[/tex], които са равнобедрени=> и подобни.
=>[tex]PJ||ON; PJ\bot AC=>ON\bot AC[/tex]. От тук следва равенство на дъгите [tex]AN[/tex] и [tex]NC[/tex]=>
[tex]BN[/tex]-ъглополовяща на [tex]\angle ABC[/tex]. Аналогично [tex]AM[/tex]-ъглополовяща на [tex]\angle CAB[/tex].
Нека [tex]AM\cap BN=I=>I[/tex]-център на вписаната в [tex]\Delta ABC[/tex] окръжност.
[tex]P=AC\cap LN ; Q=BC\cap LM[/tex] От теоремата на Паскал за вписан шестоъгълник=>[tex]P, I, Q[/tex] лежат на една права.