Параметрично уравнение

[Zarrie]

Ще се престраша и аз да пусна една задача тук, пък дано е уместна за раздела
[tex](x^2+4x+4a+52)^2=16a(5x^2+4x+52)[/tex]
За а=? горното уравнение има 3 различни корена ?

[monika_at]

Ще ти дам насока. Да представи уравнението като

[tex](x^2+4x+4a+52)^2=16a(x^2+4x^2+4x+52)[/tex] и да положим [tex]4x^2+4x+52=t[/tex]

Получаваме [tex](x^2+t)^2=16a(x^2+t)[/tex] Образуваме биквадратно уравнения спрямо х. Получаваме:

[tex]x^4+2(t-8a)x^2+t^2-16at=0[/tex]. Полагаме [tex]x^2=> z^2+2(t-8a)z+t^2-16at=0[/tex], което има корени [tex]-t+16a; -t[/tex]
За да има първоначалното уравнение три корена,какво трябва да е изпълнено за положеното уравнение?

[Nathi123]

Ще ти дам насока. Да представи уравнението като

[tex](x^2+4x+4a+52)^2=16a(x^2+4x^2+4x+52)[/tex] и да положим [tex]4x^2+4x+52=t[/tex]

Получаваме [tex](x^2+t)^2=16a(x^2+t)[/tex] Образуваме биквадратно уравнения спрямо х. Получаваме:

[tex]x^4+2(t-8a)x^2+t^2-16at=0[/tex]. Полагаме [tex]x^2=> z^2+2(t-8a)z+t^2-16at=0[/tex], което има корени [tex]-t+16a; -t[/tex]
За да има първоначалното уравнение три корена,какво трябва да е изпълнено за положеното уравнение?

Лявата страна на уравнението е дадена [tex]( x^{2} + 4x +4a+52)^{2}[/tex] и ако t = [tex]4x^{2}+4x+52[/tex] ,то [tex](x^2+4x+4a+52)^2=( x^{2}+t)^{2}[/tex] ?

[Zarrie]

Ако някой пожелае мога да му пратя решението си, или отговора на задачата

[monika_at]

Мдааа, вчера акълът ми явно не е бил с мен

Полагаме [tex]x^2+4x+52=t>0=>(t+4a)^2=16a(t+4x^2)[/tex]=>

[tex]t^2+8a+16a^2=16at+64ax^2=>(t-4a)^2=64ax^2=>t-4a=8\sqrt{a}x \cup t-4a=-8\sqrt{a}x[/tex]

[admin]

Написано е от Гост в друг раздел с линк насам:


[tex](x^2+4x+4a+52)^2=16a(5x^2+4x+52)[/tex] , полагаме [tex]x^2+4x+4a+52=t[/tex]
[tex](x^2+4x+4a+52)^2=16a(5x^2+4x+52)[/tex]
[tex](x^2+4x+4a+52)^2=16a(x^2+4x+4a+52)+16a.4x^2-16a.4a[/tex]
[tex]t^2-16at-64ax^2+64a^2=0[/tex] , решаваме относно [tex]t[/tex]
[tex]D=256a^2+256ax^2-256a^2=256ax^2[/tex] , за да има решение трябва [tex]D\ge 0 \Rightarrow a\ge 0[/tex]
Тъй като се търси даденото уравнение да има 3 различни решения то трябва уравнението спрямо [tex]t[/tex] да има 2 различни решения или [tex]D>0[/tex]
[tex]t_1=8a+8x\sqrt{a} ; t_2=8a-8x\sqrt{a}[/tex] връщаме се към полагането и решаваме веднъж за [tex]t_1[/tex] и веднъж за [tex]t_2[/tex]

[tex]x^2+4x+4a+52-8a-8x\sqrt{a}=0[/tex] , решаваме относно [tex]x[/tex] и търсим двоен корен т.е.[tex]D=0[/tex]
[tex]D=(4-8\sqrt{a})^2-4(52-4a)=16+64a-64\sqrt{a}-208+16a=80a-64\sqrt{a}-192=16(5a-4\sqrt{a}-12)=0[/tex] , сега решаваме относно [tex]a>0[/tex]
[tex]\Rightarrow \sqrt{a}=2 \Rightarrow a=4[/tex] , за намерената стойност на [tex]a[/tex] , намираме съответните решения за [tex]x[/tex]
[tex]x_{1,2}=6 ; x_3=-2 ; x_4=-18[/tex]

Сега същата процедура и за [tex]t_2[/tex]
[tex]x^2+4x+4a+52-8a+8x\sqrt{a}=0[/tex]
[tex]D=(4+8\sqrt{a})^2-4(52-4a)=16+64a+64\sqrt{a}-208+16a=80a+64\sqrt{a}-192=16(5a+4\sqrt{a}-12)=0[/tex]
[tex]\sqrt{a}=\frac{6}{5} \Rightarrow a=\frac{36}{25}[/tex]
[tex]x_{1,2}=-\frac{34}{5}[/tex] и решавайки [tex]x^2+4x+4a+52-8a-8x\sqrt{a}=0[/tex] , получаваме отрицателна дискриминанта от което следва че в този случай даденото по условие уравнение има само 2 решения.

Остана само още един случай.Когато , за [tex]t_1[/tex] получим решения [tex]x_1, x_2[/tex], а за [tex]t_2[/tex] решения [tex]x_1,x_3[/tex]
Това ще стане решавайки системата [tex]\begin{array}{|l}x^2+4x+4a+52-8a+8x\sqrt{a}=0 \\ x^2+4x+4a+52-8a-8x\sqrt{a}=0\end{array} \Rightarrow 16x\sqrt{a}=0 \Rightarrow x=0[/tex] или [tex]a=0[/tex] , което вече описахме ,че е невъзможно
Сега намираме стойността на [tex]a[/tex] , за [tex]x=0[/tex] , която е [tex]a=13[/tex] и за така получената стойност намираме другите 2 решения за [tex]x[/tex]
[tex]x^2+4x+4a+52-8a+8x\sqrt{a}=0 \Rightarrow x=0 ; x=-4+8\sqrt{13}[/tex]
[tex]x^2+4x+4a+52-8a-8x\sqrt{a}=0 \Rightarrow x=0 ; x=-4-8\sqrt{13}[/tex]

Окончателно получихме 2 възможни стойности за параметъра [tex]a[/tex] отговарящи на условието , а именно [tex]a=4 ; a=13[/tex]

[ptj]

Задачата може да се реши като се използват свойствата на дискриминантата на полином от четвърта степен

https://ru.m.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BD%D1%82#.D0.9C.D0.BD.D0.BE.D0.B3.D0.BE.D1.87.D0.BB.D0.B5.D0.BD_.D1.87.D0.B5.D1.82.D0.B2.D0.B5.D1.80.D1.82.D0.BE.D0.B9_.D1.81.D1.82.D0.B5.D0.BF.D0.B5.D0.BD.D0.B8