Една задача от щата Dallas

[Knowledge Greedy]

Да се докаже, че за всяко естествено [tex]n[/tex] числото [tex]16^n+8^n+4^{n+1}+2^{n+1}+4[/tex] може да се представи като произведение от два множителя, всеки от които е по-голям от [tex]4^n[/tex].
(Ако започнем от нулата, твърдението също е вярно.)

[Nathi123]

A=[tex]16^{n} + 8^{n} + 4^{n+1} + 2^{n+1} + 4 = 4^{2n} + 4^{n}.2^{n} + 2.4^{n} + 2.4^{n} + 2.2^{n} + 4 =4^{n}.( 4^{n} + 2^{n} +4) + 2( 4^{n} + 2^{n} +4)[/tex] [tex]\Rightarrow A = ( 4^{n} + 2^{n} +4)(4^{n} + 2)[/tex].( Лесно се вижда,че и двата множителя са по - големи от [tex]4^{n}[/tex]).

[Nathi123]

A= [tex]16^{n} + 8^{n} + 4^{n+1} + 2^{n+1} + 4 = 4^{2n} + 2^{n}.4^{n} + 4.4^{n} +2.2^{n} +4 = 4^{2n} + 2^{n}.4^{n} + 2.4^{n} +2.4^{n} +2.2^{n} +4[/tex]
A= [tex]4^{n}.( 4^{n} + 2^{n} + 2) +2( 4^{n} + 2^{n} + 2) = ( 4^{n} + 2^{n} + 2)(4^{n} + 2)[/tex] ( по - горе бях писала в първата скоба [tex]( 4^{n} + 2^{n} + 4)[/tex] по невнимание ) [tex]4^{n} + 2^{n} + 2>4^{n}[/tex],защото [tex]2^{n} + 2>0[/tex] за [tex]\forall n[/tex] ,аналогично [tex]4^{n} + 2>4^{n}[/tex] .

[Knowledge Greedy]

Задачата е на Titu Andreеscu, който работи сега в Далас, щата Тексас на USA.