Една стара Новогодишна закачка от щата Massachusetts, USA

[Knowledge Greedy]

Да се намерят всички естествени числа [tex]n[/tex], за които числото [tex]2014^n+11^n[/tex] е точен квадрат на цяло число.

[pal702004]

При $n=1$ имаме точен квадрат. $45^2=2025$
При $n>1,\quad 4\mid 2014^n\Rightarrow 11^n \equiv 1 \pmod 4\Rightarrow 2\mid n$
Тоест, по модул 4, n трябва да е четно. $n=2k$. Но:

$(2014^k)^2<(2014^k)^2+(11^k)^2<(2014^k+1)^2$

Тоест, изразът е между два съседни квадрата и не може да е квадрат. Няма други решения.