Мистична система

[ins-]

Да се реши в реални числа системата:
[tex]\begin{cases}\sqrt{1+(x+y)^{2}}=-y^{6}+2x^{2}y^{3}+4x^{4}\\ \sqrt{2x^{2}y^{2}-x^{4}y^{4}}\geq 4x^{2}y^{3}+5x^{3}\end{cases}[/tex]

[ins-]

Пуснах системата тук, защото отговора от сборника, който имам не е коректен и реших, че може би има печатна грешка. Предлагана е на областен кръг през 1979-та година. Някой има ли повече информация по темата?

[martosss]

Неприятен отговор... нямам си и идея как да се стигне до него ... но ето какво казват големите мускули на wolfram по въпроса:

Код: Избери целия код

http://www.wolframalpha.com/input/?i=system+of+equations&a=*C.system+of+equations-_*Calculator.dflt-&a=FSelect_**SolveSystemOf2EquationsCalculator-.dflt-&f3=sqrt%281%2B%28x%2By%29^2%29%3D-y^6%2B2x^2y^3%2B4x^4&f=SolveSystemOf2EquationsCalculator.equation1\u005fsqrt%281%2B%28x%2By%29^2%29%3D-y^6%2B2x^2y^3%2B4x^4&f4=sqrt%282*x^2*y^2-x^4*y^4%29+%3E%3D+4*x^2*y^3%2B5*x^3&f=SolveSystemOf2EquationsCalculator.equation2_sqrt%282*x^2*y^2-x^4*y^4%29+%3E%3D+4*x^2*y^3%2B5*x^3

[ins-]

На мен ми прилича на - някой е написал [tex]5x^3[/tex] вместо [tex]5x^4[/tex]. Отговорът от сборника е: (1, -1), а задачата се оценява с 6 точки (не са много). Ако е [tex]5x^4[/tex] - задачата не е трудна и посоченият отговор в сборника е коректен. Освен това 3 е близо до 4 и е лесно да се допусне грешка.
Друга възможна грешка е при решаването да се стигне до едно неравенство, което не е вярно. Аз се бях "подхлъзнал" по този начин.
Интересно ми е да видя и други хипотези.
На база написаното преформулирам задачата така:

Да се реши в реални числа системата:
[tex]\begin{cases}\sqrt{1+(x+y)^{2}}=-y^{6}+2x^{2}y^{3}+4x^{4}\\ \sqrt{2x^{2}y^{2}-x^{4}y^{4}}\geq 4x^{2}y^{3}+5x^{4}\end{cases}[/tex]

[Alex98]

[tex]\begin{array}{|l} \sqrt{1+(x+y)^{2}}=-y^{6}+2x^{2}y^{3}+4x^{4} \\ \sqrt{2x^{2}y^{2}-x^{4}y^{4}}\geq 4x^{2}y^{3}+5x^{4} \end{array}[/tex]

1-во ще покажем , че: [tex]2x^{2}y^{2}-x^{4}y^{4} \le 1[/tex]
Нека [tex]x^{2}y^{2}=t \Rightarrow 2x^{2}y^{2}-x^{4}y^{4} =2t-t^2=-1+2t-t^2+1=1-(t-1)^2 \le 1[/tex]
Сега изваждаме почленно от неравенството в системата равенството и получаваме:

[tex]\sqrt{2x^{2}y^{2}-x^{4}y^{4}}-\sqrt{1+(x+y)^{2}} \ge 4x^{2}y^{3}+5x^{4}-(-y^{6}+2x^{2}y^{3}+4x^{4}) =(x^2+y^3)^2[/tex]

Вече доказахме , че :[tex]2x^{2}y^{2}-x^{4}y^{4} \le 1 \Rightarrow \sqrt{2x^{2}y^{2}-x^{4}y^{4}} \le 1[/tex]
От друга старна :[tex]\sqrt{1+(x+y)^{2}}\ge \sqrt{1+0}=1[/tex]
[tex]\Rightarrow \sqrt{2x^{2}y^{2}-x^{4}y^{4}}-\sqrt{1+(x+y)^{2}}\le 0[/tex] , но [tex](x^2+y^3)^2 \ge 0[/tex]
[tex]\Rightarrow \sqrt{ 2x^{2}y^{2}-x^{4}y^{4}}-\sqrt{1+(x+y)^{2}}=(x^2+y^3)^2=0[/tex]

По този начин сведохме задачата до системата:

[tex]\Rightarrow \begin{array}{|l} 2x^{2}y^{2}-x^{4}y^{4}=1 \\ 1+(x+y)^{2}=1\\ (x^2+y^3)^2=0\end{array}[/tex]

Решението на тази система е и решението на задачата:
От второто уравнение получаваме [tex]x+y=0 \Rightarrow x=-y[/tex]
От третото уравнение получаваме:[tex]y^2+y^3=0 \Rightarrow y^2(1+y)=0 \Rightarrow y_1=0 ; y_2=-1 \Rightarrow x_1=0 ; x_2=1[/tex]
Заместваме в първото уравнение и отчитаме , че решението е само [tex]x=1 ; y=-1[/tex]