Призми, хвърлени в куб (НОМ - 1974-та)

[ins-]

В куб с ръб 9 са "хвърлени" 40 правилни четириъгълни призми с основен ръб 1,5 и височина, не по-голяма от 1,4. Да се докаже, че съществува кълбо с радиус 0,5, което лежи в куба и няма общи точки с призмите.

[ins-]

Графична илюстрация на понятието "хвърлени".

[drago]

Това, което се прави е известен прийом. Да фиксираме една пирамида и да образуваме нейната $0.5$ околожка или околност. Това ще рече да вземем едно кълбо с радиус $0.5$ и да движим центъра му по околната повърхнина на пирамидата. Това, което ще омете кълбото + самата пирамида е търсената 1/2 околност. Или множеството от всички точки не по-далече от $1/2$ от пирамидата. На това тяло може да му се пресметне обема или някаква приблизителна горна граница също може да свърпи работа.
Сумираме всички обеми на 40-те околожки на призмите и проверяваме, че тази сума е по-малка от обема на куб с ръб $8$, който се получава като свием с $1/2$ отвсякъде дадения куб. Ако установим това, то вътре в този малко по-малък куб ще има точка непопадаща в никоя околожка. Е, като построим кълбо с радиус 1/2 в тази точка, то няма да има обща точка с пирамидите и ще лежи изцяло в куба.
Остават малко сметки.

[ins-]

Да фиксираме една пирамида и да образуваме нейната $0.5$ околожка или околност.

Къде я фиксираме и колко е "голяма", с каква основа е, наклонена ли е, защо е точно пирамида?

[drago]

Naistina li ne razbirash ili se zaiazhdash?

[ins-]

Не се шегувам. Чета и питам за нещата, които не разбирам. Не печеля нищо от заяждане и не обичам да го правя. Предполагам, че написаното е коректно, но е на идейно ниво и не мога да го разбера. Вероятно се използват теория и/или трикове, които са ми непознати. Освен това задачата лесно подхлъзва. Бях почнал да правя едни фокуси с обеми и я бях "решил", но после открих, че имам грешка.

[drago]

ok.
ДЕфиниция: Нека $A$ e някакво тяло и $\epsilon>0$. Наричаме $\epsilon$ околност на $A$, множеството от всички точки на разстояние не повече от $\epsilon$ от $A$. (точките от $A$ също попадат вътре).
Грубо казано, това е $A$ опаковано с някаква вата с дебелина $\epsilon$.

Наблюдение: Имаме накакви тела нахвърляни в накакъв обем и се питаме дали има място за кълбо с радиус $\epsilon$ някъде между тях. Един подход е да опаковаме всяко тяло в една $\epsilon$ околност около него. /тези опаковки вече могат и да се пресичат/ Ако има точка $X$ извън всички тези опаковки, то като махнем опаковките, кълбото с център $X$ и радиус $\epsilon$ няма да пресича никое от първоначалните тела. За да докажем съществуването на такава т. $X$ e достатъчно да съберем обемите на $\epsilon$ околностите на телата и да видим че сумата им е по-малка от обема на тялото, което ги побира.

Както казах, другото е сметки. Може би най-трудно ще бъде да намери обема на $1/2$ околността на една от дадените правилни пирамиди. Тя ще се ограничава от равнини и части от сфери /по краищата/. Затова може да намерим една груба оценка на тази околожка, като разширим всяка от равнините на пирамидата с $1/2$ навън, ще се получи отново пирамида, която ще е по-голяма/ще съдържа/ $1/2$ околността. Обема на тази по-голяма пирамида вече лесно се смята. Ако тази груба оценка върши работа- ок, ако не, което е малко вероятно- то ще трябва малко по-фино да се оценява тази $1/2$ околност.

Задачата е повече комбинаторна, отколкото геометрична. Геометричната част е само намирането на даден обем.

[ins-]

" e достатъчно да съберем обемите на ϵϵ околностите на телата и да видим че сумата им е по-малка от обема на тялото, което ги побира." Проблемът с обемите е, че са прекалено гъвкави. Пример: Една 3 километрова тръба с диаметър 10 см. може да има много по-голям обем от футболна топка с диаметър 20 см, но тя не побира футболната топка.

Мислех за друг подход - не знам доколко е удачен, но изглежда смислен. Куба с ръб 9 се слага в началото на правоъгълна пространствена координатна система, така че 1 от ръбовете на стените плътно да съвпада с началото на тази координатна система. Всяка от малките призми се побира изцяло в сфера с радиус < 1,3. Такава сфера може да побере най-много 9 точки с целочислени координати. 40 сфери побират максиумум 360 точки. Между тях има някакви точки, чиито максимален брой не мога да определя. Стените и вътрешността на куба с ръб 9 заемат 729 точки с целочислени координати. Разликата между 729 и 360 ми се струва обещаващо голяма, но не знам как да продължа

[drago]

Проблемът с обемите е, че са прекалено гъвкави. Пример: Една 3 километрова тръба с диаметър 10 см. може да има много по-голям обем от футболна топка с диаметър 20 см, но тя не побира футболната топка.

Нещо пак май не ме разбра.
Тази задача се решава така,повярвай ми. Със сигурност авторите са имали тази идея предвид.
Вземи една правилна пирамида с a=1.5 и h=1,4. Построй равнини на разстояние 0,5 от всяка нейна стена. Получаваш пак правилна пирамида. Смятай, може малко грубо, мегдан има, и ще видиш че получената пирамида има $a <3.5$ и $h<3$.
Значи обема и ще е по-малък от 12.25. Умножи това по 40, става 490. Сега обема на куб с ръб 8 е 512. Значи в този куб ще има незаета точка от тези пирамиди. Кълбо с център тази точка няма да пресича първоначалните пирамиди и ще е изцяло вътре в първоначалния куб с ръб 9. ОК?

[ins-]

Защо ползваш пирамиди, след като в условието са дадени призми?

[drago]

Ами защото толкова чета , извинявай.
Нищо де, направи сметките с паралелепидед, там даже са по-лесни нещата, но трябва да се смята точно.
Обемът на 1/2 околността на такъв с размери1.5 x 1.5 x 1.4 може да се сметне лесно- това е сума на едни паралелеипеди + 8 осминки от кълбо с радиус 1/2 + някакви четвъртинки от цилиндри с радиус 1/2 ... , ще го сметнеш.
Ще станат нещата, няма начин.

[ins-]

Значи ... смятам. Обемът на права призма с размери 2*2*1,9 = 7,6. Общият обем на 40 такива призми е 304. Обемът на куб с размери 8*8*8=512. Обемът на куб с ръб 9 е 9*9*9=729. Срещам лек проблем. Какъв е максималният брой на споменатите призми, които могат да се вместят в един от 2-та куба, така, че да заемат максимално пространство и между тях да няма поставена сфера с диаметър 1? Ами, ако не са прилепнали, а са разбутани или разкривени (например в някой от ъглите на куба може да има призма, които е накриво и между нея и куба може да има пространство празно, чиято "дебелина" е < 0,5)?

[ptj]

Значи ... смятам. Обемът на права призма с размери 2*2*1,9 = 7,6. Общият обем на 40 такива призми е 304. Обемът на куб с размери 8*8*8=512. Обемът на куб с ръб 9 е 9*9*9=729. Срещам лек проблем. Какъв е максималният брой на споменатите призми, които могат да се вместят в един от 2-та куба, така, че да заемат максимално пространство и между тях да няма поставена сфера с диаметър 1? Ами, ако не са прилепнали, а са разбутани или разкривени (например в някой от ъглите на куба може да има призма, които е накриво и между нея и куба може да има пространство празно, чиято "дебелина" е < 0,5)?

Стига писа глупости.Иска се да докажеш, че съществува точка, намираща се поне на разстояние 0.5 навън от стените на всяка призма. Т.е. точно идеята на drago:-)

[ptj]

Значи ... смятам. Обемът на права призма с размери 2*2*1,9 = 7,6. Общият обем на 40 такива призми е 304. Обемът на куб с размери 8*8*8=512. Обемът на куб с ръб 9 е 9*9*9=729. Срещам лек проблем. Какъв е максималният брой на споменатите призми, които могат да се вместят в един от 2-та куба, така, че да заемат максимално пространство и между тях да няма поставена сфера с диаметър 1? Ами, ако не са прилепнали, а са разбутани или разкривени (например в някой от ъглите на куба може да има призма, които е накриво и между нея и куба може да има пространство празно, чиято "дебелина" е < 0,5)?

Стига писа глупости.Иска се да докажеш, че съществува точка, намираща се поне на разстояние 0.5 навън от стените на всяка призма. Т.е. точно идеята на drago, но първо обема на основната призма трябва да се намали по аналогичен начин навътре ( става куб 8x8x8).

[ins-]

Питам, докато не разбера. За вас с drago глупости, за мен не са. Очевидното за теб и него не е очевидно за мен.

[inveidar]

Питам, докато не разбера. За вас с drago глупости, за мен не са. Очевидното за теб и него не е очевидно за мен.

Пич, след като хвърлиш уголемените призми в намаления куб и остане място, то избираш една точка от това останало място и построяваш кълбото. Нали не мислиш, че призмите са уголемени материално? Това е само мислено!

[ins-]

Знам, че не са уголемени физически. Какви са размерите на най-голямото останало празно място, което би могло да побере сфера с радиус 0,5? Защо?

[kmitov]

Ами ако има поне една точка, не принадлежаща на никоя от уголемените призми, тя ще е на повече от половин сантиметър от всички неуголемени и ще е център на кълбо с радиус половин сантиметър, което не пресича нито една неуголемена призма. Аз това разбрах и смятам , че е съвсем правилно.

[ins-]

Така ... значи аз грешно смятам обвивката на призмата. Просто увеличавам размерностите ѝ с 1, а около нея се правят едни други неща. Не съм разбрал идеята на drago. Той е искал да ми каже, че трябва на всеки ъгъл да се сложи 1/8 кълбо, на всеки ръб 1/4 цилиндър, а на всяка стена призма. Това е имал в предвид под обвивка, а аз просто "хитро" съм увеличил размерностите с 1. Обемът на обвивката, която drago предлага е 13,5793506945471.

[drago]

T.e. ако си смятал вярно $13.5 \cdot 40 > 8^3$ и нещата не стават с тази идея. Което не означава, че твърдението не е вярно.
Значи, ако условието е коректно, или трябва да се търси друга идея или да се прецизира тази. Например, тъй като това все пак са паралелипипеди, не може да се завират по фугите и да попълват обема на по-малкия куб. Те или излизат навън или се пресичат, т.е. общия обем го броим поне 2 пъти, а обема навън го броим, а не трябва. Но нещата вече стават завързани.

Обаче аз си мисля, че по-вероятно е да има нещо сбъркано в условието. Защото това е давано на 3-ти(областен) кръг, не на подборния и е оценена с 6т.: http://imomath.com/othercomp/Bul/BulMO374.pdf
Не би следвало да е толкова заплетена. Пък и някак написана ми изглежда да е с тази идея. Да не би все пак наистина да са пирамиди?

[ins-]

Това, което е качено на: http://imomath.com/othercomp/Bul/BulMO374.pdf е 1:1 със сборника на "Народна просвета" от 1990 година, посветен на НОМ. Ако има грешка - грешката е допусната в сборника. Може вместо 1,5 да е 1,4 също. Тази задача и системата от 1979, дето съм пуснал тук са единствените по-странни задачи дето не излизаха и затова ги качих тук. Системата се верифицира със софтуер, но за тази задача е по-трудно това да стане. Иначе - като я гледа човек - не изглежда някаква много трудна, но като тръгне да я решава е по-различна работата.

[drago]

В този сборник няма ли решение или упътване? Другия вариант е сп. Математика, броевете от 1974, ако може да се намери. Там трябва да има и решенията.

[ins-]

Реших да си направя една дълга разходка из областните кръгове от 1960, най-вече след 1967-ма до 2003-та и каквото не е решено в сборника и забозя много - пускам го в разни форуми. Тази не е решена. Няма и упътване.