Система с параметър и модул (НОМ 1987-ма)

[ins-]

Да се докаже, че за всички по-малки от [tex]6[/tex] реални стойности на параметъра [tex]k[/tex] системата:
[tex]x^2+y^2=k^2[/tex]
[tex]y=|x^2-kx|-k[/tex]
има нечетен брой реални решения.

[inveidar]

Проблемът е от 1/2 до 6.

[ins-]

Понякога една картина казва повече от хиляди думи

[georgi111]

И в случая какво по-конкретно ни казва картинката Боби - на мен на пръв поглед нищо не ми казва по-съществено ?

[ins-]

Трябва да има още 1 картинка + допълнителни неща. Би трябвало да каже, че в случая за 0<k<6 имаме, модула се разкрива с + и -. Плюс е, когато x<0, минус, когато x>0. И в двата случая имаме парабола и окръжност, които минават през (0;-k), за да се установи броят на решенията на системата може да се разгледа положението на върха на параболата спрямо окръжността. Броят на решенията на системата е равен на пресечните точки на параболата и окръжността. В първия случай той е (0,-k) + още една пресечна точка, а във втория (0,-k)+друга пресечна точка. Общо в случая 0<k<6 системата има 3 решения. Написаното от мен е само идея, но има още писане и сметки, докато се изкара докрай задачата.

[inveidar]

Написаното от теб не решава проблема, защото върхът на параболата при к по-голямо от една втора понякога е извън окръността и въпреки това параболата пресича окръжността. Това е проблема.

[ins-]

Това, че когато максимумът е извън k и параболата пресича окръжността - не е проблем. От първото уравнение имаме [tex]-k \le x \le k[/tex]. Това лесно влече, че модулът се разкрива със знак +, когато [tex]x \le 0[/tex]. Независимо от стойностите на [tex]k[/tex] [tex](0, -k)[/tex] е решение. Заради [tex]0 \le k \le 6[/tex] имаме, че минимумът на квадратната функция от второто уравнение е извън окръжността в точка с абсциса [tex]\ge 0[/tex]. Този минимум също така е с ордината [tex]\le -k[/tex]. Следователно върха на параболата спрямо окръжността е "долу в дясно". От това и от параболата пресича окръжността в точка с координати [tex](0, -k)[/tex] следва, че тя пресича окръжността точно в една точка с отрицателна абсциса при [tex]0<k<6[/tex].

[inveidar]

Графиката на второто уравнение не е парабола, а е съставена от частите на две параболи. Сигурно ли е, че когато върхът на обърнатата парабола(дето съм го окрадил с кръгче) е извън окръжността(а това е възможно!), то частта от тази парабола пресича окръжността? Това трябва да се докаже.

ТТТ.png (1.47 MiB) Прегледано 561 пъти

[ins-]

Това, което е пуснато от теб е цялата графика т.е. модула разкрит със знак + и знак минус. Това което описвам в поста преди твоя е само за случая, когато модула се разкрива със знак минус. Точно в този случай съм обяснил защо когато върха на параболата е извън окръжността я пресича 2 пъти (един път в точката с координати (0,-k); (0,-k) винаги е решение на системата, независимо от стойностите на k)и един път в друга точка с абсциса < 0.

[inveidar]

Добре де, на мен това ми е проблема. Ако може някой да го реши, ще съм благодарен. В момента нямам достатъчно време, което да му отделя.