Вдъхновена от задача, пусната от Ганка

[ins-]

Нека [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex], [tex]d[/tex] са реални числа, за които: [tex]a+b+c+d=1[/tex], [tex]a^2+b^2+c^2+d^2=1[/tex], [tex]a^3+b^3+c^3+d^3=1[/tex]. Да се намери стойността на израза: [tex]a^4+b^4+c^4+d^4+4abcd[/tex].

[freegame]

Нека e даден полиномът:
P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=x^4-(a+b+c+d)x^3+(cd+bd+cb+ad+ac+ab)x^2-(abc+bcd+acd+abd)x+abcd
Полагаме: a+b+c+d=m; cd+bd+cb+ad+ac+ab=p; abc+bcd+acd+abd=q
при x=a ==>a^4-ma^3+pa^2-qa+abcd=0
при x=b ==>b^4-mb^3+pb^2-qb+abcd=0
при x=c ==>c^4-mc^3+pc^2-qc+abcd=0
при x=d ==>d^4-md^3+pd^2-qd+abcd=0
Събираме почленно и получаваме:
a^4+b^4+c^4+d^4+abcd-m(a^3+b^3+c^3+d^3)+p(a^2+b^2+c^2+d^2)-q(a+b+c+d)=0 <==> a^4+b^4+c^4+d^4+abcd-m+p-q=0
a+b+c+d=1 ==>ac+bc+cc+dc=c; aa+ba+ca+da=a; ab+bb+cb+db=b; ad+bd+cd+dd=d ==>2p+1=1 ==>p=0
По аналогични разсъждения получаваме, че q=0
==>a^4+b^4+c^4+d^4+abcd=1 т.к. m=1

[ins-]

Предполагам това са симетрични полиноми, които не са ми познати. За създаването на задачата използвах следните тъждества:

1)[tex](a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)[/tex]

2)[tex](a+b+c+d)(a^2+b^2+c^2+d^2-ab-ac-ad-bc-bd-cd)=a^3+b^3+c^3+d^3-3(abc+abd+acd+bcd)[/tex]

3)[tex](a^2+b^2+c^2+d^2)^2-2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)^2+4(a+b+c+d)(ab c+bcd+cda+dab)=a^4+b^4+c^4+d^4+4abcd[/tex]

С тяхна помощ може да се намери стойността на израза, ако вместо 1,1,1 имаме x,y,z.

Интересно ми е друго. Възможно ли е при зададени "хубави" стойности на първите 3 израза да се намери стойността на някакъв друг израз, например [tex]a^6+b^6+c^6[/tex]?

[ins-]

Намерих каквото търсех -

Ако [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex], [tex]d[/tex] са реални числа такива, че:

[tex]a+b+c+d=0[/tex]

[tex]a^2+b^2+c^2+d^2=12[/tex]

[tex]a^3+b^3+c^3+d^3=24[/tex]

Да се определи стойността на израза:

[tex]a^5+b^5+c^5+d^5[/tex]


Друга подобна задача -

Ако [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex], [tex]d[/tex] са реални числа такива, че:

[tex]a+b+c+d=0[/tex]

[tex]a^3+b^3+c^3+d^3=0[/tex]

Да се определи стойността на израза:

[tex]a^5+b^5+c^5+d^5[/tex]

[pal702004]

Нека [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex], [tex]d[/tex] са реални числа, за които: [tex]a+b+c+d=1[/tex], [tex]a^2+b^2+c^2+d^2=1[/tex], [tex]a^3+b^3+c^3+d^3=1[/tex]. Да се намери стойността на израза: [tex]a^4+b^4+c^4+d^4+4abcd[/tex].

Нещо не се е получила задачата, последните две условия еднозначно определят неизвестните. От второто $|a| \le 1 \Rightarrow 1-a \ge 0$ Аналогично за другите. Изваждаме от второто уравнение третото:

$a^2(1-a)+b^2(1-b)+c^2(1-c)+d^2(1-d)=0$

Всички събираеми са неотрицателни, следователно нули. Значи неизвестните са една единица и три нули.
(щом числата са реални)

[ins-]

Благодаря за забележката! И аз си го мислех по едно време. Задачата може да се преформулира и така:

Нека [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex], [tex]d[/tex], [tex]u[/tex], [tex]v[/tex], [tex]w[/tex] са реални числа, за които: [tex]a+b+c+d=u[/tex], [tex]a^2+b^2+c^2+d^2=v[/tex], [tex]a^3+b^3+c^3+d^3=w[/tex]. Да се изрази [tex]a^4+b^4+c^4+d^4+4abcd[/tex] чрез [tex]u[/tex], [tex]v[/tex], [tex]w[/tex].