Лесна задача

[ins-]

Нека [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex] са реални числа, за които: [tex]a+b+c=ab+bc+ca[/tex] и [tex]a^2+b^2+c^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2[/tex]. Да се пресметне стойността на [tex]abc[/tex].

[Alex98]

Нека [tex]p=a+b+c=ab+ac+bc[/tex]
[tex](a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc) \Rightarrow a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)=p^2-2p[/tex]
[tex](ab+ac+bc)^2=a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+2abc(a+b+c) \Rightarrow a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2=(ab+ac+bc)^2-2abc(a+b+c)=p^2-2p(abc)[/tex]
По условие [tex]a^2+b^2+c^2=a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2 \Rightarrow p^2-2p=p^2-2p(abc)[/tex]
1 случай: Нека [tex]p\ne 0 \Rightarrow abc=1[/tex]
2 случай: Нека [tex]p=0 \Rightarrow a^2+b^2+c^2=p^2-2p=0 \Rightarrow a=b=c=0 (a,b,c\in R) \Rightarrow abc=0[/tex]

[ins-]

Може да се докаже още и, че: [tex]a^n+b^n+c^n=a^nb^n+b^nc^n+c^na^n[/tex], където [tex]n[/tex] е естествено число.

[pal702004]

Може да се докаже още и, че: [tex]a^n+b^n+c^n=a^nb^n+b^nc^n+c^na^n[/tex], където [tex]n[/tex] е естествено число.

Не само естествено. Условията определят тройката: тривиалното $(0,0,0)$, или $\left(1,t,\frac 1 t\right)$, където $t$ е реален параметър
И в двата случая твърдението е вярно.

Но, да, с отрицателните числа може да възникне проблем при не цяло $n$.