Правоъгълен триъгълник и окръжности

[ins-]

Нека [tex]ABC[/tex] е правоъгълен тригълник с прав ъгъл [tex]C[/tex], а [tex]k[/tex] e вписаната в него окръжност. Допирателна на [tex]k[/tex], успоредна на катета [tex]BC[/tex], отсича от [tex]ABC[/tex] триъгълник с радиус на вписаната окръжност [tex]r_1[/tex]. Допирателната на [tex]k[/tex], успоредна на катета [tex]AC[/tex], отсича от [tex]ABC[/tex] триъгълник с радиус на вписаната окръжност [tex]r_2[/tex]. Допирателната на [tex]k[/tex], успоредна на хипотенузата [tex]AB[/tex], отсича от [tex]ABC[/tex] триъгълник с радиус на вписаната окръжност [tex]r_3[/tex]. Да се изрази [tex]r_3[/tex] чрез [tex]r_1[/tex] и [tex]r_2[/tex].

[kmitov]

Ако $AB=1, \ AC=b, \ BC=a$, то $r_3=\frac{a+b-1}{a+b+1}r$, $r_1=\frac{b+1-a}{a+b+1}r$, $r_2=\frac{a+1-b}{a+b+1}r$

Понеже $r=\frac{a+b-1}{2}$, то $r_3=\frac{(a+b-1)^2}{2(a+b+1)}$.

Освен това $\frac{r_1}{r_2}=\frac{1-(a-b)}{1+(a-b)}$ и $a^2+b^2=1$. От тази система се намира $a+b$ и се замества в израза за $r_3$.

С $r$ е означен радиуса на вписаната в $ABC$ окръжност.

[ins-]

Може и така. Задачата би могла да се реши по още поне 3-4 начина.

[kmitov]

Сигурно може. Крайната формула не ми се стори красива.

[ins-]

Има и по-красиви, но не е и грозна, а ако е - зависимостта може да се запише като: [tex](\frac{r_3}{r_1}+1)(\frac{r_3}{r_2}+1)=2[/tex] или [tex](r_3+r_1)^2+(r_3+r_2)^2=(r_1+r_2)^2[/tex]. Ето и две от решенията, които са ми известни: