Красива система уравнения

[ins-]

Да се реши (в реални числа) системата:
[tex]x^2+y^2-z^2=(x+y-z)^2+2[/tex]
[tex]x^3+y^3-z^3=(x+y-z)^3+3[/tex]
[tex]x^4+y^4-z^4=(x+y-z)^4+4[/tex]

Скрит текст: покажи

Задачата не е съставена от мен. Само смених няколко числа.

[Alex98]

Тук ще използваме стандартното полагане [tex]x+y=p ; xy=q[/tex]
Първото уравнение приема вида:[tex](x+y)^2-2xy-z^2=(x+y)^2-2z(x+y)+z^2+2 \Rightarrow p^2-2q-z^2=p^2-2pz+z^2+2[/tex]
[tex]\Rightarrow z^2-pz+q=-1[/tex]
Второто уравнение приема вида:
[tex](x+y)^3-3xy(x+y)-z^3=(x+y)^3-3z(x+y)^2+3z^2(x+y)-z^3+3[/tex]
[tex]\Rightarrow p^3-3pq-z^3=p^3-3zp^2+3z^2p-z^3+3[/tex]
[tex]\Rightarrow z^2p-zp^2+pq=-1[/tex]
[tex]\Rightarrow p(z^2-pz+q)=-1 \Rightarrow p=1 \Rightarrow q=z-1-z^2[/tex]
Сега преработваме третото уравнение:[tex](x+y)^4-4xy(x+y)^2+2x^2y^2-z^4=(x+y)^4-4z(x+y)^3+6z^2(x+y)^2-4z^3(x+y)+z^4+4[/tex]
[tex]\Rightarrow 1-4q+2q^2-z^4=1-4z+6z^2-4z^3+z^4+4[/tex]
[tex]\Rightarrow z^4-2z^3+3z^2-2z+2q-q^2+2=0[/tex]
[tex]\Rightarrow z^4-2z^3+3z^2-2z+2(z-1-z^2)-(z-1-z^2)^2+2=0[/tex]
[tex]\Rightarrow z^4-2z^3+3z^2-2z+2z-2-2z^2-z^4-z^2-1+2z+2z^3-2z^2+2=0[/tex]
[tex]\Rightarrow 2z^2-2z+1=0[/tex] , което няма реални корени...

[ins-]

ако последната 4-ка беше 5-ца или по-голямо число щеше да има реални решения. Задачата ми хареса, защото трудно се измисля нещо подобно, има известна техника при решаването и изглежда красиво.

[ins-]

Системите:
1.
[tex]x^3+y^3-z^3=(x+y-z)^3+3[/tex]
[tex]x^4+y^4-z^4=(x+y-z)^4+4[/tex]
[tex]x^5+y^5-z^5=(x+y-z)^5+5[/tex]

2.
[tex]x^2+y^2-z^2=(x+y-z)^2+2[/tex]
[tex]x^3+y^3-z^3=(x+y-z)^3+3[/tex]
[tex]x^5+y^5-z^5=(x+y-z)^5+5[/tex]

3.
[tex]x^2+y^2-z^2=(x+y-z)^2+2[/tex]
[tex]x^4+y^4-z^4=(x+y-z)^4+4[/tex]
[tex]x^5+y^5-z^5=(x+y-z)^5+5[/tex]

също са решими по аналогичен начин.