Числена стойност на израз

[ins-]

Нека [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex], [tex]d[/tex] са реални числа, такива че: [tex]ab+cd \ne 0[/tex].
Ако
[tex]a+b=ab[/tex]
[tex]c-d=cd[/tex]
[tex]a-b=c+d[/tex]
да се пресметне стойността на [tex]ab-cd[/tex].

[Alex98]

1 случай: Нека [tex]a=0 \Rightarrow b=0 \Rightarrow a-b=0 \Rightarrow c+d=0 \Rightarrow c=-d \Rightarrow c-d=2c=cd=-c^2 \Rightarrow c_1=0 ; c_2=-2[/tex]
При [tex]c=0 \Rightarrow d=0 \Rightarrow cd=0 \Rightarrow ab+cd=0[/tex], което е противоречие с условието
[tex]\Rightarrow c=-2 \Rightarrow d=2 \Rightarrow cd=-4 \Rightarrow ab-cd =4[/tex]

2 случай:Нека [tex]a\ne 0 ; b=ka , k\ne 0[/tex]
[tex]\Rightarrow a+b=a(k+1)=ab=ka^2 \Rightarrow a=\frac{k+1}{k} \Rightarrow b=k+1 \Rightarrow ab=\frac{(k+1)^2}{k}[/tex]
[tex]\Rightarrow a-=\frac{k+1}{k}-(k+1)=\frac{1-k^2}{k}=c+d \Rightarrow c=\frac{1-k^2}{k}-d[/tex]
[tex]\Rightarrow c-d=\frac{1-k^2}{k}-2d=cd=\frac{1-k^2}{k}d-d^2[/tex]
[tex]\Rightarrow d^2+\frac{k^2-2k-1}{k}d+\frac{1-k^2}{k}=0[/tex]
[tex]D=\frac{k^4+2k^2+1}{k^2}=(\frac{k^2+1}{k})^2[/tex]
[tex]\Rightarrow d_1=\frac{-(k^2-2k-1)-(k^2+1)}{2k}=\frac{-2k(k-1)}{2k}=-(k-1) \Rightarrow c=\frac{1-k^2+k^2-k}{k}=-\frac{k-1}{k}[/tex]
[tex]\Rightarrow c_1d_1=\frac{(k-1)^2}{k} ; ab-c_1d_1=\frac{(k+1)^2-(k-1)^2}{k}=4[/tex]
[tex]\Rightarrow d_2=\frac{-(k^2-2k-1)+(k^2+1)}{2k}=\frac{2(k+1)}{2k}=\frac{k+1}{k} \Rightarrow c=\frac{1-k^2-k-1}{k}=-\frac{k(k+1)}{k}=-(k+1)[/tex]
[tex]\Rightarrow c_2d_2=-\frac{(k+1)^2}{k} \Rightarrow ; ab+c_2d_2=0[/tex], което е противоречие с условието
[tex]\Rightarrow ab-cd=4[/tex]

П.П. Има и един по-лесен начин.Ако [tex]a=b=2 ; c=d=0[/tex], забелязваме че условията са изпълнени и ако задачата е еднозначно определена то отговора ще е [tex]\Rightarrow ab-cd=4[/tex]

[ins-]

Пуснах я, защото ми хареса това:
[tex](ab-2)^2=a^2b^2-4ab+4=(a+b)^2-4ab+4=(a-b)^2+4=(c+d)^2+4=(c-d)^2+4cd+4=c^2d^2+4cd+4=(cd+2)^2[/tex]
[tex](ab+cd)(ab-cd-4)=0[/tex]
[tex]ab+cd \ne 0[/tex] по условие [tex]=> ab-cd=4[/tex]

Задачата не е трудна. Има поне още 2 начина да се реши. Дали е красива/интересна - не знам. Гледах една задача за елипса и хипербола, и други подобни по няколко израза да се намери друг и така я измислих.

[tex]ab+cd \ne 0[/tex] може да се елиминира, ако в условието вместо "реални числа" се постави "различни реални числа" или "положителни реални числа". При началната формулировка, когато [tex]ab+cd=0[/tex], [tex]a=d[/tex], [tex]b=-c[/tex] и [tex]ac+bd=0[/tex]. Може да се намери още, че [tex]a-c=b+d=2[/tex] и [tex]ad-bc=0[/tex].

В този случай стойността на израза е еднозначно определена, но има подобни задачи, в които не е. Ако се разчита на това при решението - трябва да се докаже, за да е коректно.