Система уравнения (вероятно от Виетнам)

[ins-]

Да се реши (в реални числа) системата:
[tex]\begin{cases} x^3-x^2+x+y-2=0 \\ y^3-y^2+y+2z-3=0 \\ z^3-z^2+z+3x-4=0 \end{cases}[/tex]

[georgi111]

Дадената система е еквивалентна с :
[tex]\begin{cases} (x-1)(x^2+1)+(y-1)=0 \\ (y-1)(y^2+1)+2(z-1)=0 \\ (z-1)(z^2+1)+3(x-1)=0 \end{cases}[/tex] или с :
[tex]\begin{cases} -(x-1)(x^2+1)=y-1 \\ (y-1)=\frac{-2(z-1)}{y^2+1} \\ (x-1)= \frac{-(z-1)(z^2+1)}{3} \end{cases}[/tex]
или след заместване :
[tex]\frac{(z-1)(z^2+1)(x^2+1)}{3}=y-1=\frac{-2(z-1)}{y^2+1}[/tex]
или
[tex](z-1)[\frac{(z^2+1)(x^2+1)}{3}+\frac{2}{y^2+1}]=0[/tex]
или
[tex](z-1)(\frac{(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)+6}{3(y^2+1)})=0[/tex]
От последното равенство и системата лесно следва, че единственото решение е (x,y,z)=(1,1,1). С това задачата е решена.

[Knowledge Greedy]

Интересна задача. Започнах я, запазих някои постижения в черновата, но Георги ме изпревари. За да не унищожавам "ръкописа", ви предлагам част от някои "мързеливи съображения, как да я решим.
[tex]\begin{array}{|l} x^3−x^2+x+y−2=0 \\ y^3−y^2+y+2z−3=0\\ z^3−z^2+z+3x−4=0 \end{array}[/tex]
Полагаме общото в трите уравнения с [tex]f(t)[/tex]

Първи опит: [tex]f(t)=t^3−t^2+t[/tex]
Системата става
[tex]\begin{array}{|l} y =-f(x)+2 \\ 2z=-f(y)+3 \\ 3x =-f(z)+4 \end{array}[/tex]
- няма видим напредък.

Втори опит: [tex]f(t)=t^3−t^2+t-3[/tex] (опит за центриране)
Системата става
[tex]\begin{array}{|l} y =-f(x)+1 \\ 2z=-f(y) \\ 3x =-f(z)-1 \end{array}[/tex]
Отново задъднена" улица.

Трети опит: [tex]f(t)=t^3−t^2+t-1[/tex] (опит за идентифициране на [tex]f(t)[/tex] освен чрез коефициенти и чрез корени)
Системата става
[tex]\begin{array}{|l} y =-f(x)+1 \\ 2z=-f(y)+2 \\ 3x =-f(z)+3 \end{array}[/tex]
Записваме я във вида
[tex]\begin{array}{|l} y-1=-f(x) \\ 2(z-1)=-f(y) \\ 3(x-3) =-f(z)+3 \end{array}[/tex]

И тъй като [tex]1[/tex] е нула на полинома [tex]f(t)=t^3−t^2+t-1[/tex], вече става ясно как може да довършим и да открием решенията по начина на georgi111, евентуално малко модифицирано.

[ins-]

Може и друго да се направи. След разглеждане на случаи, в които поне едно от неизвестните е 1, да се умножат уравненията и да се получи, че когато всички неизвестни са различни от [tex]1[/tex] имаме [tex](x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)=-6[/tex], което е невъзможно. Преди време имаше подобни системи на общински кръг на НОМ.

[Knowledge Greedy]

Всъщност и аз точно това имах предвид

Може и друго да се направи. След разглеждане на случаи, в които поне едно от неизвестните е 1, да се умножат уравненията и да се получи, че когато всички неизвестни са различни от 1 имаме [tex](x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)=-6[/tex], което е невъзможно. Преди време имаше подобни системи на общински кръг на НОМ.